テンソルの不変量の導出

テンソルの各成分は座標系の取り方に依存して変化する。 しかし、成分を組み合わせてつくられる量のなかには座標系によらず値が変わらない量が存在し、これを不変量と呼ぶ。 スカラーやベクトルの内積、行列のトレースや行列式などは座標系によらず、不変量である。   この記事では、テンソルの固有方程式か […]

ジョルダン標準形の求め方

いよいよ線形代数基礎のゴールのひとつである、ジョルダン標準形について学ぶ。   ジョルダン標準形を求める目的は、簡単にいうと対角化できない行列を対角っぽい行列に変換することである。 広い意味では、対角行列もジョルダン標準形に含まれる。   この記事では、「2次および3次のジョルダ […]

行列の最小多項式の性質と求め方

行列の最小多項式を用いると、ジョルダン標準形の形を知ることができる。 ここでは、最小多項式の定義と性質、求め方について解説する。具体的な行列に対して最小多項式を求める演習問題を解きながら、手順を理解しよう。 また、固有多項式と最小多項式を用いてジョルダン標準形を分類する。   ジョルダン標 […]

ジョルダン細胞とn乗の計算

これから学ぶジョルダン標準形を形成する要素である、ジョルダン細胞(またはジョルダンブロック)について述べておく。 ジョルダン細胞の表し方と、n乗の計算について考えていく。 ジョルダン細胞とは 次の形で表される\(n\)次正方行列をジョルダン細胞といい、\(J(\lambda,n)\)とかく。 \[\ […]

二次曲線の標準形と分類

2次形式の標準化を利用すると、二次曲線を明快に取り扱うことができるようになる。 この記事では、二次曲線の分類や標準形への変形、図形的意味などについて学んでいく。 2次形式の標準化について復習したい方は以下のリンクへ。   二次曲線とは 方程式 $$ax^2+2bxy+cy^2+px+qy+ […]

2次形式と行列の定値性について

前回は2次形式の標準形について勉強した。 実対称行列を直交行列で対角化できることを利用して、2次形式を標準形に変換できることはわかったが、これができると何が嬉しいのかについてはまだ触れていなかった。 ここでは、2次形式および行列の定値性(符号)との関係を紹介していく。   定値性とは 2次 […]

2次形式の標準化

対称行列の対角化の応用例のひとつとして、2次形式の行列表示および標準化について学ぶ。 2次形式の標準形を求めると、少し複雑な二次曲線が描けるほか、行列の符号の判定が簡単にできるようになる。   2次形式とは 2次形式とは、二次の項のみからなる多項式のことをいう。 たとえば $$q(x_1, […]

行列の指数関数の定義と計算例

行列の対角化およびn乗の計算を学んできたが、これらと関わりのある行列演算をもう一つ紹介しておく。 それは行列の指数関数と呼ばれるものである。   行列の指数関数は、通常の指数関数を行列に拡張したもので、微分方程式の解法にも用いることができる。 ここでは、行列の指数関数の定義と性質、そして具 […]

実対称行列の性質と直交行列による対角化

前回の記事では、一般の行列の対角化の条件や計算手順を学んだ。 ここでは、実対称行列に着目して、その性質および対角化について解説する。   実対称行列とは 成分がすべて実数である対称行列を実対称行列という。 $$\overline{A}=A(実行列) かつ A^T=A(対称行列)$$ 各成分 […]

対角化による3次正方行列のn乗の計算例

行列の対角化の応用例として、n乗の計算がある。 ここでは、3×3行列の対角化によるn乗計算の例題を紹介する。 課題や試験で問われることも多いので、ご参考まで。   復習 行列の固有値・固有ベクトルおよび対角化に関する知識が必要になる。 これらの項目について復習したい方は、以下の記事を参照の […]