テンソルのトレースとデターミナント

この記事では、テンソルのトレース(跡)とデターミナント(行列式)を定義し、その性質について紹介する。 これらの量は、後ほど学ぶテンソルの不変量にも登場する。 また、トレースを用いてテンソルのスカラー積を定義することができる。   トレース テンソル\(\boldsymbol{X}\)のトレ […]

双対シンプレックス法

これまでに、線形計画問題の解法として通常のシンプレックス法、罰金法、そして計算機でよく用いられる二段階のシンプレックス法について例題を解きながら学んできた。 この記事では、最後のテーマとして双対シンプレックス法について学ぶ。   双対シンプレックス法 これまで取り扱ってきた問題では、制約条 […]

スカラー四重積とベクトル四重積

3つのベクトルの積として、スカラー三重積とベクトル三重積について学んだ。 ここでは、もう一つ増やして4つのベクトルの積について紹介する。   スカラー四重積 4つのベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{ […]

スカラー三重積とベクトル三重積

2つのベクトルの積として、内積や外積を定義した。 ここでは、3つのベクトルの積であるスカラー三重積とベクトル三重積について考えていく。   スカラー三重積 3つのベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\)によるスカラー三重積を次 […]

総和規約について

ベクトルやテンソルの演算を行うとき、総和記号を省略すると簡単に記述することができるようになる。 このような記述方法を総和規約(summation convention)という。 以下では総和規約のルールについて紹介し、使い方を解説する。   総和規約 二つのベクトル\(\boldsymbo […]

テンソルの定義とテンソル積について

今後の応用のため、テンソルの概念について簡単に学んでおくことにする。 テンソルという単語自体は様々な分野で出会うことになるだろうが、その概念を正確に理解しようとするとかなりハードルが高い。 ここでは、テンソルとは何かを掘り下げるのではなく、応用のためテンソルの演算について理解することを目的とする。 […]

2段階シンプレックス法の解法と例題

前回の記事でシンプレックス法の基本手順について学んだ。   シンプレックス法を適用するにあたり 等式の制約条件 不等号の向きが反対 \(b_i\)が負 変数に符号の制約がない のような場合、技巧変数\(\nu\)や係数\(M\)を用いて制約条件の書き換えを行った。 このような解法の例として […]

罰金法によるシンプレックス計算の例題

前回の記事でシンプレックス法について解説した。 この中で、等式や不等号が逆向きの場合の制約条件の取り扱いとして罰金法を紹介した。   この記事では、罰金法によるシンプレックス法の問題の解き方を紹介する。   シンプレックス法の手順は以下の通りである。 STEP1 目的変数(ここで […]

シンプレックス法の概要と計算手順をわかりやすく解説

この記事では、線形計画法の代表的な解法であるシンプレックス法について解説する。   線形計画法では、ある制約条件の下で目的関数を最大化または最小化することを考える。 高校数学においても、領域の分野で関数の最大化や最小化という形式で線形計画法の問題が出題されることもある。このときは制約条件を […]

接線・主法線・従法線と曲率・捩率の求め方ー円柱らせんの例

空間曲線の接線ベクトルや主法線ベクトル、従法線ベクトル、曲率および捩率の計算方法を解説する。 各用語について簡単に説明したのち、円柱らせんを用いて具体的に計算してみよう。 用語と定義式 まず、用語と定義の確認をしておく。 媒介変数を\(t\)、\(x,y,z\)方向の基底ベクトルを\(\mathbf […]