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ベクトル解析

スカラー四重積とベクトル四重積

3つのベクトルの積として、スカラー三重積とベクトル三重積について学んだ。 ここでは、もう一つ増やして4つのベクトルの積について紹介する。   スカラー四重積 4つのベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{ […]

スカラー三重積とベクトル三重積

2つのベクトルの積として、内積や外積を定義した。 ここでは、3つのベクトルの積であるスカラー三重積とベクトル三重積について考えていく。   スカラー三重積 3つのベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\)によるスカラー三重積を次 […]

接線・主法線・従法線と曲率・捩率の求め方ー円柱らせんの例

空間曲線の接線ベクトルや主法線ベクトル、従法線ベクトル、曲率および捩率の計算方法を解説する。 各用語について簡単に説明したのち、円柱らせんを用いて具体的に計算してみよう。 用語と定義式 まず、用語と定義の確認をしておく。 媒介変数を\(t\)、\(x,y,z\)方向の基底ベクトルを\(\mathbf […]

ストークスの定理の証明

グリーンの定理、ガウスの発散定理に続き、ストークスの定理を証明していきます。 ストークスの定理は、グリーンの定理を3次元に拡張した定理です。 ストークスの定理 \(xyz\)-空間内で、有限個の閉曲線を境界とする曲面\(S\)と、\(S\)を含むある領域で定義されたベクトル場\(\mathbf{A} […]

ガウスの発散定理の証明と物理的意味

前回のグリーンの定理に引き続き、ガウスの発散定理について学んでいきます。 ガウスの発散定理 \(V\)を閉曲線\(S\)で囲まれた有界な閉領域、\(\mathbf{A}\)は\(V\)を含むある開集合で定義された\(C^1\)級ベクトル場とすると $$\iint_S\mathbf{A}・\mathb […]

グリーンの定理の証明

今回から、ベクトル解析の肝である、積分に関する定理について学んでいきます。 まずはグリーンの定理からはじめ、次回からガウスの発散定理とストークスの定理を示していきます。 線積分や面積分、体積積分を書き換えることができるこれらの定理は、電磁気学をはじめ様々な分野で活用することになりますので、証明の流れ […]

ベクトル解析の基礎・スカラー場とベクトル場の演算公式

さて、今回からはベクトル解析について学んでいきたいと思います。 まず、ベクトルの外積について考えます。そのあと、スカラー場とベクトル場を結ぶ重要な演算である勾配(grad)・発散(div)・回転(rot)の計算方法について述べ、それらの間に成り立つ公式を与えていきます。 ベクトル解析は力学や電磁気学 […]