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複素関数論

特異点とローラン展開【理工数学】

特異点と極 関数f(z)が、z=aで正則でないが、z=aの近傍では正則であるとする。 このような点aを、f(z)の孤立特異点という。特異点とは、微分不可能な点のことである。 例えば、f(z)=1/zの場合、z=0は孤立特異点である。 特異点は、その性質により次のように分類される。 除去可能な特異点 […]

グルサの定理の導出と計算例

グルサ(Goursat)の定理 コーシーの積分公式は、次式で与えられた。 $$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz$$ このままでは、分母がn乗の形になっている積分を計算することができない。この公式を拡張し、n乗に対応できるようにした式 […]

複素数に関する基礎の復習とド・モアブルの定理【理工数学】

今回から、複素関数論を学んでいく。 別の記事(こちら)で既にみているが、複素数の基礎について今一度復習しておくことにする。 複素数の基本 虚数単位iを用いて、z=x+iyと表されるzを複素数と呼ぶ。x、yはそれぞれ次のようにかく。 $$x=Rez , y=Imz$$ x軸(実軸)とy軸(虚軸)でつく […]