理工数学

線形代数学

内積の定義と正値性・対称性・線形性について

特別な行列の名前と定義・性質の一覧

対称行列と反対称行列の性質・分解公式

行列のn乗の計算方法ー4つのパターン

サラスの公式による行列式の計算方法

余因子の計算と余因子行列の作り方

余因子展開と行列の基本変形による行列式の計算方法

グラム・シュミットの直交化法と正規直交基底

クラメルの公式による連立1次方程式の解法

掃き出し法(ガウスの消去法)による連立方程式の解法と逆行列の求め方

行列のランクの求め方と性質

 

微分積分学

集合と数

集合とは?その表し方と記号の意味を解説

集合同士の関係の表し方からド・モルガンの法則まで

自然数・整数・有理数・実数・複素数とは何か。定義を再確認しよう

実数の性質①~四則演算と大小関係の話

実数の性質②~有界と上限から実数の連続性まで

実数の性質③~アルキメデスの原理と実数の稠密性

極限と微分

数列の収束と発散に関する定義・定理からコーシーの収束判定

sinx/xの極限値 ~はさみうちの原理による計算方法を解説

積の高階導関数を求める「ライプニッツの公式」の証明と例題

微分の平均値の定理~ロルの定理の証明とラグランジュの平均値定理

テイラーの定理とその証明

ネイピア数eが無理数であることの証明(テイラーの定理の応用)

テイラー展開とマクローリン展開の定義と例~オイラーの公式の導出

不定形の極限①コーシーの平均値の定理の証明

不定形の極限②ロピタルの定理の証明と例題、使うときの注意点

曲線の数学①空間曲線のベクトル表示とベクトルの微分、物理的意味合いについて

曲線の数学②曲率と曲率半径の導出

曲線の数学③平面曲線と曲率の公式

積分と微分方程式

不定積分①不定積分の定義と積分の諸公式ー部分積分・置換積分とその例題

不定積分②有理関数・三角関数・無理関数の不定積分

微分方程式①変数分離形・同次形・一階線形微分方程式の一般解と例題

微分方程式②2階線形微分方程式に関する一般論

微分方程式③特性方程式と定数係数2階線形微分方程式の解法

複素数の基礎~複素平面と極形式・複素数値関数の微積分

定積分①定積分の定義と積分可能性の判定に関する諸定理

定積分②定積分の性質ー積分の平均値定理・微分積分学の基本定理

定積分③置換積分法と部分積分法の計算例ーウォリス(ワリス)の公式の導出

広義積分①非有界関数および無限区間における積分の計算

広義積分②広義積分の収束とガンマ関数・ベータ関数

定積分の応用ー級数の収束判定・面積・曲線の長さの計算方法

偏微分と重積分

偏微分①点集合の定義と点列の収束性

偏微分②多変数関数の極限と連続性に関する諸定理

偏微分③偏微分の基礎と偏導関数の計算例

偏微分④全微分と合成関数の偏微分・多変数関数のテイラーの定理まで

陰関数と偏微分ー陰関数定理

偏微分の応用①曲面の方向微分係数と法線ベクトル・接平面の方程式

偏微分の応用②多変数関数の極値とラグランジュの未定乗数法の例題

偏微分の応用③包絡線と全微分方程式

重積分①重積分の定義と面積に関する一般論

重積分②重積分の計算方法その1ー累次積分と計算例

重積分③広義重積分の定義と重積分の収束・発散

重積分④重積分の計算方法その2ー変数変換とヤコビアンの計算例

重積分の応用①三重積分の計算ー円柱座標・極座標のヤコビアンと変数変換

重積分の応用②重積分による体積・曲面積の計算方法

 

ベクトル解析

ベクトル解析①ベクトルの基礎・スカラー場とベクトル場の演算公式

ベクトル解析②線積分と面積分の定義と計算方法

ベクトル解析③グリーンの定理の証明

ベクトル解析④ガウスの発散定理の証明と物理的意味

ベクトル解析⑤ストークスの定理の証明

接線・主法線・従法線と曲率・捩率の求め方ー円柱らせんの例

スカラー三重積とベクトル三重積

スカラー四重積とベクトル四重積

 

微分方程式

例題で理解する2階線形微分方程式の解法

具体例で学ぶ微分演算子法

ラプラス変換で微分方程式を解く

連立微分方程式の解法-微分演算子とラプラス変換

ベルヌーイの微分方程式の解法

オイラーの微分方程式の解法

 

複素関数論

複素数に関する基礎の復習とド・モアブルの定理

複素関数の微分可能性とコーシー・リーマンの関係式

複素関数の積分とコーシーの積分定理

コーシーの積分公式の証明と例題3問

コーシーの積分公式からグルサ(Goursat)の定理を導出

複素関数のテイラー展開と収束半径

特異点とローラン展開

留数の求め方と留数定理の証明

留数定理の広義積分への応用

 

フーリエ変換

フーリエ級数展開式の導出と矩形波/鋸波のフーリエ係数の計算

複素フーリエ級数展開式の導出と計算例

フーリエ変換・逆フーリエ変換の定義と導出

フーリエ変換の加算性と対称性と振幅・位相スペクトル

畳み込み積分のフーリエ変換と線形システムの例

パーシバルの定理の証明とパワースペクトルについて

パワースペクトルの例-白色ノイズとブラウン運動についての計算例

周期関数のフーリエ変換~デルタ関数を用いた三角関数のフーリエ変換

非周期関数のフーリエ変換~ローレンツ方程式とカオス

離散フーリエ変換(DFT)とサンプリング定理の概要

離散データのフーリエ変換とサンプリング定理(標本化定理)の導出

離散フーリエ変換の理論と計算

離散フーリエ変換(DFT)の計算オーダーと高速フーリエ変換(FFT)

 

ラプラス変換

ガンマ関数とベータ関数の基礎

ラプラス変換の基礎

各種関数のラプラス変換一覧(導出付き)

ラプラス変換による偏微分方程式の解法

 

数理計画法

線形計画法

シンプレックス法の概要と計算手順をわかりやすく解説

罰金法によるシンプレックス計算の例題

2段階シンプレックス法の解法と例題

双対シンプレックス法