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内積

直交行列の定義とその性質

ここでは、直交行列の定義と性質を学ぶ。 後ほど実対称行列の対角化や2次形式の標準化でも登場するので、その性質を理解しておこう。 直交行列の定義 直交行列の定義自体はかなりシンプルである。 \(n\)次正方行列\(P\)が $$P^TP=E_n$$ を満たすとき、\(P\)を直交行列という。 ここで、 […]

スカラー四重積とベクトル四重積

3つのベクトルの積として、スカラー三重積とベクトル三重積について学んだ。 ここでは、もう一つ増やして4つのベクトルの積について紹介する。   スカラー四重積 4つのベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{ […]

スカラー三重積とベクトル三重積

2つのベクトルの積として、内積や外積を定義した。 ここでは、3つのベクトルの積であるスカラー三重積とベクトル三重積について考えていく。   スカラー三重積 3つのベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\)によるスカラー三重積を次 […]

グラム・シュミットの直交化法と正規直交基底

グラム・シュミットの直交化法とは、一次独立なベクトルの組から直交基底ベクトルを機械的につくる手法である。 この記事では、まず正規直交基底について述べ、グラム・シュミットの直交化法を解説する。 さらにグラム・シュミットの直交化法を用いて具体的に正規直交基底の計算をしてみる。   正規直交基底 […]

内積の定義と正値性・対称性・線形性について

内積の復習 二つの平面ベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)があるとき、これらの内積は次式で与えられることを高校数学で学んだ。 $$\boldsymbol{a}・\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos […]