ここでは、直交行列の定義と性質を学ぶ。
後ほど実対称行列の対角化や２次形式の標準化でも登場するので、その性質を理解しておこう。
直交行列の定義
直交行列の定義自体はかなりシンプルである。
\(n\)次正方行列\(P\)が
$$P^TP=E_n$$
を満たすとき、\(P\)を直交行列という。
ここで、Tは転置記号、\(E_n\)は\(n\)次の単位行列である。
または、逆行列の定義より
$$P^{-1}=P^T$$
となる行列を直交行列であるとしてもよい。
直交行列の性質
直交行列は次の性質を持つ。
- 行列式の値は\(\pm1\)である
- 2つの直交行列の積も直交行列になる
- 直交行列を構成するベクトルは正規直交基底をなす
- 直交行列による変換(直交変換)では、ベクトルの大きさ・なす角・内積の値が保存される
順番に証明していこう。
直交行列の行列式
\(P\)を\(n\)次の直交行列とするとき、\(\mathrm{det}P=\pm1\)である。
(証明)
行列式の性質
$$\mathrm{det}(AB)=(\mathrm{det}A)(\mathrm{det}B)，\mathrm{det}A^T=\mathrm{det}A$$
を用いる。
直交行列の定義の両辺の行列式をとると
\begin{align*}
\mathrm{det}(P^TP)&=(\mathrm{det}P^T)(\mathrm{det}P) \\
&=(\mathrm{det}P)^2=1
\end{align*}
$$∴\mathrm{det}P=\pm1$$
(証明終)
直交行列の積は直交行列
\(P,Q\)が直交行列ならば、その積\(PQ\)も直交行列である。
(証明)
\(P,Q\)は直交行列なので
$$P^TP=Q^TQ=E_n$$
が成立する。このとき
\begin{align*}
(PQ)^TPQ&=Q^TP^TPQ \\
&=Q^T(P^TP)Q=Q^T(E_n)Q \\
&=Q^TQ \\
&=E_n
\end{align*}
となるので、\(PQ\)も直交行列である。
(証明終)
直交行列の列(行)ベクトルは正規直交基底
(証明)
\(P\)の列ベクトルを\(\boldsymbol{p}_1,\cdots,\boldsymbol{p}_n\)として
$$P=(\boldsymbol{p}_1~~\boldsymbol{p}_2~~\cdots~~\boldsymbol{p}_n)$$
と表すと
\begin{align*}
P^TP&=\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{p}_1 \\
\boldsymbol{p}_2 \\
\vdots \\
\boldsymbol{p}_n
\end{array}
\right)(\boldsymbol{p}_1~~\boldsymbol{p}_2~~\cdots~~\boldsymbol{p}_n) \\
&=\left(
\begin{array}{cccc}
\boldsymbol{p}_1・\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_1・\boldsymbol{p}_2 & \cdots & \boldsymbol{p}_1・\boldsymbol{p}_n \\
\boldsymbol{p}_2・\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2・\boldsymbol{p}_2 & \cdots & \boldsymbol{p}_2・\boldsymbol{p}_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\boldsymbol{p}_n・\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_n・\boldsymbol{p}_2 & \cdots & \boldsymbol{p}_n・\boldsymbol{p}_n
\end{array}
\right)=E_n
\end{align*}
したがって
$$\boldsymbol{p}_i・\boldsymbol{p}_j=\delta_{ij} (i,j=1,2,\cdots,n)$$
となり、\(\boldsymbol{p}_1,\cdots,\boldsymbol{p}_n\)は\(\mathbb{R}\)の正規直交基底をなす。
(証明終)
ここで、\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ記号である。
直交変換における保存性
直交行列\(P\)と任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)について、次の関係が成立する。
\begin{cases}
（ⅰ）P\boldsymbol{x}・P\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}・\boldsymbol{y} & (内積の保存) \\
（ⅱ）\|P\boldsymbol{x}\|=\|\boldsymbol{x}\| & (大きさの保存) \\
（ⅲ）P\boldsymbol{x}とP\boldsymbol{y}のなす角=\boldsymbol{x}と\boldsymbol{y}のなす角 & (角の保存)
\end{cases}
(証明)
（ⅰ）
内積の定義\(\boldsymbol{a}・\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}^T\boldsymbol{b}\)を用いる。
\begin{align*}
P\boldsymbol{x}・P\boldsymbol{y}&=(P\boldsymbol{x})^TP\boldsymbol{y} \\
&=\boldsymbol{x}^TP^TP\boldsymbol{y} \\
&=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}・\boldsymbol{y}
\end{align*}
（ⅱ）
（ⅰ）の\(\boldsymbol{y}\)を\(\boldsymbol{x}\)とすると
$$P\boldsymbol{x}・P\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}・\boldsymbol{x}$$
より
$$\|P\boldsymbol{x}\|^2=\|\boldsymbol{x}\|^2$$
となるので
$$\|P\boldsymbol{x}\|=\|\boldsymbol{x}\|$$
（ⅲ）
\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)のなす角を\(\theta\)、\(P\boldsymbol{x}\)と\(P\boldsymbol{y}\)のなす角を\(\theta^\prime\)とすると
$$\theta=\frac{\boldsymbol{x}・\boldsymbol{y}}{\|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|}$$
$$\theta^\prime=\frac{P\boldsymbol{x}・P\boldsymbol{y}}{\|P\boldsymbol{x}\|\|P\boldsymbol{y}\|}$$
（ⅰ）、（ⅱ）より、\(\theta=\theta^\prime\)
(証明終)
最後に、2次の直交行列に関する事実を示します。
(解)
\[P=\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)\]
とおく。直交行列の列ベクトルは正規直交基底をなすので、1列目のベクトルについて
\[\left(
\begin{array}{c}
a \\
c
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta \\
\sin\theta
\end{array}
\right)\]
と表すことができる。
直交行列の性質：\(\mathrm{det}P=\pm1\)と\(P^T=P^{-1}\)を利用する。
\(\mathrm{det}P=1\)の場合：
$$P^T=P^{-1}$$
から
\[\left(
\begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cc}
d & -b \\
-c & a
\end{array}
\right)\]
$$d=a=\cos\theta，b=-c=-\sin\theta$$
\[∴P=\left(
\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}
\right)\]
\(\mathrm{det}P=-1\)の場合：
$$P^T=P^{-1}$$
から
\[\left(
\begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array}
\right)=-\left(
\begin{array}{cc}
d & -b \\
-c & a
\end{array}
\right)\]
$$d=-a=-\cos\theta，b=c=\sin\theta$$
\[∴P=\left(
\begin{array}{cc}
\cos\theta & \sin\theta \\
\sin\theta & -\cos\theta
\end{array}
\right)\]
以上のように、2次の直交行列は回転行列のみに限られることがわかる。
なお、\(\mathrm{det}P=-1\)の場合は
\[\left(
\begin{array}{cc}
\cos\theta & \sin\theta \\
\sin\theta & -\cos\theta
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}
\right)\]
であり、\(\theta\)回転を表す回転行列と反転の積になっている。
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