２つのベクトルの積として、内積や外積を定義した。
ここでは、３つのベクトルの積であるスカラー三重積とベクトル三重積について考えていく。
スカラー三重積
３つのベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\)によるスカラー三重積を次のように定義する。
$$[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]\equiv(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})・\boldsymbol{c}$$
２つのベクトルの外積と、残りのベクトルとの内積を取る。
スカラー三重積の成分表示をしてみよう。
総和規約を用いると、次のように計算することができる。
\begin{align*}
[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]&=(\varepsilon_{ijk}a_jb_k\boldsymbol{e}_i)・c_l\boldsymbol{e}_l \\
&=\varepsilon_{ijk}a_jb_kc_l\delta_{il} \\
&=\varepsilon_{ijk}a_jb_kc_i
\end{align*}
ここで\(\varepsilon_{ijk}\)はエディントンのイプシロンである。
\[\varepsilon_{ijk}=\begin{cases}
1 &： (i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) \\
-1 &： (i,j,k)=(1,,2),(2,1,3),(3,2,1) \\
0 &：その他
\end{cases}\]
これより、次の関係が成り立つことがわかる。
$$[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]=[\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}]=[\boldsymbol{c},\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}]=-[\boldsymbol{a},\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}]=-[\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{c}]=-[\boldsymbol{c},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}]$$
また、スカラー三重積は３次正方行列の行列式に等しい。
\[[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]=\left(\begin{array}{ccc}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{array}\right)\]
さらに、ベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\)が平行六面体をなすとき、その体積\(V\)は
$$V=[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]$$
で与えられる。
これは、内積と外積の意味を考えれば明らかである。
ベクトル三重積
３つのベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\)によるベクトル三重積を次のように定義する。
$$(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})×\boldsymbol{c}$$
２つのベクトルの外積と、残りのベクトルとの外積を取る。
ベクトル三重積について、次の性質が成り立つ。
$$(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})×\boldsymbol{c}=(\boldsymbol{a}・\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{b}・\boldsymbol{c})\boldsymbol{a}$$
各成分についてそれぞれ計算することで示せるが、総和規約を用いて次のように示すこともできる。
\begin{align*}
(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})×\boldsymbol{c}&=(\varepsilon_{ijk}a_jb_k\boldsymbol{e}_i)×c_l\boldsymbol{e}_l \\
&=\varepsilon_{ijk}a_jb_kc_l\varepsilon_{ilm}\boldsymbol{e}_m \\
&=(\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl})a_jb_kc_l\boldsymbol{e}_m \\
&=a_jb_kc_j\boldsymbol{e}_k-a_jb_kc_k\boldsymbol{e}_j \\
&=(\boldsymbol{a}・\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{b}・\boldsymbol{c})\boldsymbol{a}
\end{align*}
上の式に合わせて、以下の３つの式が成り立つことを示せる。
\begin{cases}
(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})×\boldsymbol{c}=(\boldsymbol{a}・\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{b}・\boldsymbol{c})\boldsymbol{a} \\
(\boldsymbol{b}×\boldsymbol{c})×\boldsymbol{a}=(\boldsymbol{b}・\boldsymbol{a})\boldsymbol{c}-(\boldsymbol{c}・\boldsymbol{a})\boldsymbol{b} \\
(\boldsymbol{c}×\boldsymbol{a})×\boldsymbol{b}=(\boldsymbol{c}・\boldsymbol{b})\boldsymbol{a}-(\boldsymbol{a}・\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}
\end{cases}
これらの辺々足し合わせると、次の関係が導かれる。
$$(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})×\boldsymbol{c}+(\boldsymbol{b}×\boldsymbol{c})×\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{c}×\boldsymbol{a})×\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$$
なお、ベクトル三重積については結合則は成り立たない。
$$(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})×\boldsymbol{c}\not=\boldsymbol{a}×(\boldsymbol{b}×\boldsymbol{c})$$
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