３つのベクトルの積として、スカラー三重積とベクトル三重積について学んだ。
[mathjax] ２つのベクトルの積として、内積や外積を定義した。 ここでは、３つのベクトルの積であるスカラー三重積とベクトル三重積について考えていく。 スカラー三重積 ３つのベクトル\(\boldsy[…]
ここでは、もう一つ増やして４つのベクトルの積について紹介する。
スカラー四重積
４つのベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\)によるスカラー四重積を次のように定義する。
$$(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})・(\boldsymbol{c}×\boldsymbol{d})$$
２つの外積に対してさらに内積を取る。
スカラー四重積について、以下の関係式が成立する。
$$(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})・(\boldsymbol{c}×\boldsymbol{d})=(\boldsymbol{a}・\boldsymbol{c})(\boldsymbol{b}・\boldsymbol{d})-(\boldsymbol{a}・\boldsymbol{d})(\boldsymbol{b}・\boldsymbol{c})$$
これをビネ・コーシーの恒等式ともいう。
(証明)
総和規約を用いて計算する。
\begin{align*}
(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})・(\boldsymbol{c}×\boldsymbol{d})&=(\varepsilon_{ijk}a_jb_k\boldsymbol{e}_i)・(\varepsilon_{lmn}c_md_n\boldsymbol{e}_l) \\
&=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}a_jb_kc_md_n\boldsymbol{e}_i・\boldsymbol{e}_l \\
&=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}a_jb_kc_md_n\delta_{il} \\
&=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}a_jb_kc_md_n \\
&=(\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km})a_jb_kc_md_n \\
&=\delta_{jm}\delta_{kn}a_jb_kc_md_n-\delta_{jn}\delta_{km}a_jb_kc_md_n \\
&=a_jb_kc_jd_k-a_jb_mc_md_j \\
&=(\boldsymbol{a}・\boldsymbol{c})(\boldsymbol{b}・\boldsymbol{d})-(\boldsymbol{a}・\boldsymbol{d})(\boldsymbol{b}・\boldsymbol{c})
\end{align*}
(証明終)
スカラー四重積の特殊な場合として、\(\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a},\boldsymbol{d}=\boldsymbol{b}\)の場合を考える。
$$(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})・(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})=(\boldsymbol{a}・\boldsymbol{a})(\boldsymbol{b}・\boldsymbol{b})-(\boldsymbol{a}・\boldsymbol{b})(\boldsymbol{b}・\boldsymbol{a})$$
$$|\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b}|^2=|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2-(\boldsymbol{a}・\boldsymbol{b})^2$$
これはラグランジュの恒等式ともいう。
ベクトル四重積
４つのベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\)によるベクトル四重積を次のように定義する。
$$(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})×(\boldsymbol{c}×\boldsymbol{d})$$
２つの外積に対してさらに外積を取る。
ベクトル四重積について、以下の関係式が成立する。
\begin{align*}
(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})×(\boldsymbol{c}×\boldsymbol{d})&=[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{d}]\boldsymbol{c}-[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]\boldsymbol{d} \\
&=[\boldsymbol{a},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}]\boldsymbol{b}-[\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}]\boldsymbol{a}
\end{align*}
ここで、\([\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]=\boldsymbol{a}・(\boldsymbol{b}×\boldsymbol{c})\)はスカラー三重積を表す。
(証明)
総和規約を用いて計算する。
\begin{align*}
(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})×(\boldsymbol{c}×\boldsymbol{d})&=(\varepsilon_{ijk}a_jb_k\boldsymbol{e}_i)×(\varepsilon_{lmn}c_md_n\boldsymbol{e}_l) \\
&=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}a_jb_kc_md_n\boldsymbol{e}_i×\boldsymbol{e}_l \\
&=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}a_jb_kc_md_n\varepsilon_{ilo}\boldsymbol{e}_o \cdots (*)
\end{align*}
エディントンのイプシロンが３つ登場しているが、①1つ目と３つ目、②２つ目と３つ目のいずれの組み合わせを選んで計算を進めるかで最終的に得られる形が変化する。
順番に計算していこう。
①の場合：
\begin{align*}
(*)&=(\delta_{jl}\delta_{ko}-\delta_{jo}\delta_{kl})\varepsilon_{lmn}a_jb_kc_md_n\boldsymbol{e}_o \\
&=\varepsilon_{jmn}a_jb_kc_md_n\boldsymbol{e}_k-\varepsilon_{kmn}a_jb_kc_md_n\boldsymbol{e}_j \\
&=(\varepsilon_{jmn}a_jc_md_n)・b_k\boldsymbol{e}_k-(\varepsilon_{kmn}b_kc_md_n)・a_j\boldsymbol{e}_j \\
&=(\boldsymbol{a}・(\boldsymbol{c}×\boldsymbol{d}))・\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{b}・(\boldsymbol{c}×\boldsymbol{d}))・\boldsymbol{a} \\
&=[\boldsymbol{a},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}]\boldsymbol{b}-[\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}]\boldsymbol{a}
\end{align*}
②の場合：
\begin{align*}
(*)&=\varepsilon_{lmn}\varepsilon_{loi}\varepsilon_{ijk}a_jb_kc_md_n\boldsymbol{e}_o \\
&=(\delta_{mo}\delta_{ni}-\delta_{mi}\delta_{no})\varepsilon_{ijk}a_jb_kc_md_n\boldsymbol{e}_o \\
&=\varepsilon_{ijk}a_jb_kc_md_i\boldsymbol{e}_m-\varepsilon_{ijk}a_jb_kc_id_n\boldsymbol{e}_n \\
&=(\varepsilon_{ijk}d_ja_jb_k)・c_m\boldsymbol{e}_m-(\varepsilon_{ijk}c_ia_jb_k)・d_n\boldsymbol{e}_n \\
&=[\boldsymbol{d},\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}]\boldsymbol{c}-[\boldsymbol{c},\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}]\boldsymbol{d} \\
&=[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{d}]\boldsymbol{c}-[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]\boldsymbol{d}
\end{align*}
ただし、エディントンのイプシロンおよびスカラー三重積が巡回性を持つことを利用した。
$$\varepsilon_{ijk}=\varepsilon{jki}=\varepsilon_{kij}$$
$$[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]=[\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}]=[\boldsymbol{c},\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}]$$
(証明終)
さて、この関係式の右辺が等しいことから以下の恒等式が成り立つ。
$$[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]\boldsymbol{d}=[\boldsymbol{d},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]\boldsymbol{a}+[\boldsymbol{a},\boldsymbol{d},\boldsymbol{c}]\boldsymbol{b}+[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{d}]\boldsymbol{c}$$
これより、\([\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]\not=0\)のとき\(\boldsymbol{d}\)は基底\(\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}\)を用いて
$$\left(\frac{[\boldsymbol{d},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]}{[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]},\frac{[\boldsymbol{a},\boldsymbol{d},\boldsymbol{c}]}{[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]},\frac{[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{d}]}{[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]}\right)$$
のように成分表示することができることがわかる。
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