テンソル解析

テンソルの不変量の導出

テンソルの各成分は座標系の取り方に依存して変化する。 しかし、成分を組み合わせてつくられる量のなかには座標系によらず値が変わらない量が存在し、これを不変量と呼ぶ。 スカラーやベクトルの内積、行列のトレースや行列式などは座標系によらず、不変量である。   この記事では、テンソルの固有方程式か […]

テンソルのトレースとデターミナント

この記事では、テンソルのトレース(跡)とデターミナント(行列式)を定義し、その性質について紹介する。 これらの量は、後ほど学ぶテンソルの不変量にも登場する。 また、トレースを用いてテンソルのスカラー積を定義することができる。   トレース テンソル\(\boldsymbol{X}\)のトレ […]

総和規約について

ベクトルやテンソルの演算を行うとき、総和記号を省略すると簡単に記述することができるようになる。 このような記述方法を総和規約(summation convention)という。 以下では総和規約のルールについて紹介し、使い方を解説する。   総和規約 二つのベクトル\(\boldsymbo […]

テンソルの定義とテンソル積について

今後の応用のため、テンソルの概念について簡単に学んでおくことにする。 テンソルという単語自体は様々な分野で出会うことになるだろうが、その概念を正確に理解しようとするとかなりハードルが高い。 ここでは、テンソルとは何かを掘り下げるのではなく、応用のためテンソルの演算について理解することを目的とする。 […]