テンソルの各成分は座標系の取り方に依存して変化する。
しかし、成分を組み合わせてつくられる量のなかには座標系によらず値が変わらない量が存在し、これを不変量と呼ぶ。
スカラーやベクトルの内積、行列のトレースや行列式などは座標系によらず、不変量である。
この記事では、テンソルの固有方程式から不変量を導出する。
二階テンソルの不変量
二階テンソル\(\boldsymbol{T}\)は行列の形で表記でき、線形写像である。よって、線形代数でも学んだように固有値問題を考えることができる。
$$\boldsymbol{T}\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$$
が成り立つとき、\(\lambda\)を固有値、零でないベクトル\(\boldsymbol{x}\)を\(\lambda\)に対する固有ベクトルという。
\(\boldsymbol{T}\)の成分を\(T_{ij}\)とすると、\(\lambda\)について
\[\left|
\begin{array}{ccc}
T_{11}-\lambda & T_{12} & T_{13} \\
T_{21} & T_{22}-\lambda & T_{23} \\
T_{31} & T_{32} & T_{33}-\lambda
\end{array}
\right|=0\]
が満たされる。また、この式は
$$|T_{ij}-\lambda\delta_{ij}|=0$$
とも書くことができ、固有方程式と呼ぶ。
固有方程式は\(T_{ij}-\lambda\delta_{ij}\)の行列式なので不変量である。よって、座標系によらず同一の方程式となり、これを解いて得られる固有値もまた座標系には依存しない。
固有方程式を\(\lambda\)の関数とみて、\(F(\lambda)=-|T_{ij}-\lambda\delta_{ij}|\)を展開しよう。
\[
F(\lambda)=\lambda^3-(T_{11}+T_{22}+T_{33})\lambda^2+\left(\left|
\begin{array}{cc}
T_{22} & T_{23} \\
T_{32} & T_{33}
\end{array}
\right|+\left|
\begin{array}{cc}
T_{11} & T_{13} \\
T_{31} & T_{33}
\end{array}
\right|+\left|
\begin{array}{cc}
T_{11} & T_{12} \\
T_{21} & T_{22}
\end{array}
\right|\right)\lambda-\left|
\begin{array}{ccc}
T_{11} & T_{12} & T_{13} \\
T_{21} & T_{22} & T_{23} \\
T_{31} & T_{32} & T_{33}
\end{array}
\right|
\]
さて、\(F(\lambda)\)は不変量なので、右辺の各項の係数
\begin{cases}
Ⅰ=\mathrm{tr}(\boldsymbol{T})=T_{11}+T_{22}+T_{33} \\
Ⅱ=\Phi(\boldsymbol{T})=\left|
\begin{array}{cc}
T_{22} & T_{23} \\
T_{32} & T_{33}
\end{array}
\right|+\left|
\begin{array}{cc}
T_{11} & T_{13} \\
T_{31} & T_{33}
\end{array}
\right|+\left|
\begin{array}{cc}
T_{11} & T_{12} \\
T_{21} & T_{22}
\end{array}
\right| \\
Ⅲ=\mathrm{det}(\boldsymbol{T})=\left|
\begin{array}{ccc}
T_{11} & T_{12} & T_{13} \\
T_{21} & T_{22} & T_{23} \\
T_{31} & T_{32} & T_{33}
\end{array}
\right|
\end{cases}
も座標系に依存しない、テンソル\(\boldsymbol{T}\)の不変量である。
それぞれ第１不変量、第２不変量、第３不変量と呼ぶ。第１不変量はトレース、第３不変量はデターミナントに等しい。
固有方程式が異なる3つの解\(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\)を持つとすると、３次方程式の解と係数の関係から次式が成り立つことがわかる。
\begin{cases}
Ⅰ=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 \\
Ⅱ=\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1+\lambda_1\lambda_2 \\
Ⅲ=\lambda_1\lambda_2\lambda_3
\end{cases}
第２不変量の変形
二階テンソル\(\boldsymbol{T}\)の第２不変量\(\Phi(\boldsymbol{T})\)について、次式が成立する。
$$\Phi(\boldsymbol{T})=\frac{1}{2}\{(\mathrm{tr}(\boldsymbol{T}))^2-\mathrm{tr}(\boldsymbol{T}^2)\}$$
(証明)
\begin{align*}
(右辺)&=\frac{1}{2}\{(T_{11}+T_{22}+T_{33})^2-(T_{11}T_{11}+T_{12}T_{21}+T_{13}T_{31} \\
&~~~~~~~~+T_{21}T_{12}+T_{22}T_{22}+T_{23}T_{32}+T_{31}T_{13}+T_{32}T_{23}+T_{33}T_{33})\} \\
&=T_{11}T_{22}-T_{12}T_{21}+T_{22}T_{33}-T_{23}T_{32}+T_{11}T_{33}-T_{13}T_{31} \\
&=\Phi(\boldsymbol{T})
\end{align*}
(証明終)
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