テンソルのトレースとデターミナント

この記事では、テンソルトレース(跡)とデターミナント(行列式)を定義し、その性質について紹介する。

これらの量は、後ほど学ぶテンソルの不変量にも登場する。

また、トレースを用いてテンソルのスカラー積を定義することができる。

 

トレース

テンソル\(\boldsymbol{X}\)のトレース(跡)を\(\mathrm{tr}\boldsymbol{X}\)と書き、その成分は

$$\mathrm{tr}\boldsymbol{X}=X_{ii}=X_{11}+X_{22}+X_{33}$$

で与えられる。

 

テンソルのトレースは、スカラー三重積を用いて次のように表示される。

\begin{align*}
\mathrm{tr}\boldsymbol{X}&=\left([\boldsymbol{X}・\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]+[\boldsymbol{a},\boldsymbol{X}・\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]+[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{X}・\boldsymbol{c}]\right)/[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \\
&=[\boldsymbol{X}・\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3]+[\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{X}・\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3]+[\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{X}・\boldsymbol{e}_3] \end{align*}

ここで、

$$[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]=\varepsilon_{jki}a_jb_kc_i$$

である。

 

テンソルの積およびテンソル積のトレースに関し、次式が成立する。

\begin{align*}
\mathrm{tr}(\boldsymbol{X}・\boldsymbol{Y})&=\mathrm{tr}(X_{ik}Y_{kj}\boldsymbol{e}_i\otimes\boldsymbol{e}_j) \\
&=X_{ik}Y_{ki} \\
&=\mathrm{tr}(\boldsymbol{Y}・\boldsymbol{X})
\end{align*}

\begin{align*}
\mathrm{tr}(\boldsymbol{a}\otimes\boldsymbol{b})&=\mathrm{tr}(a_{i}b_{j}\boldsymbol{e}_i\otimes\boldsymbol{e}_j) \\
&=a_{i}b_{i} \\
&=(\boldsymbol{a}・\boldsymbol{b})
\end{align*}

 

成分より明らかに、テンソルのトレースについて

$$\mathrm{tr}\boldsymbol{X}^T=\mathrm{tr}\boldsymbol{X}$$

が成り立つ。

 

デターミナント

テンソル\(\boldsymbol{X}\)のデターミナント(行列式)を\(\mathrm{det}\boldsymbol{X}\)と書き、その成分は

$$\mathrm{det}\boldsymbol{X}=\varepsilon_{ijk}X_{i1}X_{j2}X_{k3}$$

で与えられる。

 

テンソルのデターミナントは、スカラー三重積を用いて次のように表示される。

\begin{align*}
\mathrm{det}\boldsymbol{X}&=[\boldsymbol{X}・\boldsymbol{a},\boldsymbol{X}・\boldsymbol{b},\boldsymbol{X}・\boldsymbol{c}]/[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \\
&=[\boldsymbol{X}・\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{X}・\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{X}・\boldsymbol{e}_3] \end{align*}

ここに、\(\boldsymbol{X}=X_{ij}\boldsymbol{e}_i\otimes\boldsymbol{e}_j\)を代入すると、上の成分表示の式を得る。

 

テンソルの積のデターミナントに関して、次の関係式が成立する。

$$\mathrm{det}(\boldsymbol{X}・\boldsymbol{Y})=(\mathrm{det}\boldsymbol{X})(\mathrm{det}\boldsymbol{Y})$$

 

(証明)

$$\varepsilon_{ijk}\mathrm{det}\boldsymbol{X}=\varepsilon_{lmn}X_{li}X_{mj}X_{nk}$$

を用いると、次のようになる。

\begin{align*}
(\mathrm{det}\boldsymbol{X})(\mathrm{det}\boldsymbol{Y})&=\mathrm{det}\boldsymbol{X}\varepsilon_{ijk}Y_{i1}Y_{j2}Y_{k3} \\
&=\varepsilon_{lmn}X_{li}X_{mj}X_{nk}Y_{i1}Y_{j2}Y_{k3} \\
&=\varepsilon_{lmn}(\boldsymbol{X}・\boldsymbol{Y})_{l1}(\boldsymbol{X}・\boldsymbol{Y})_{m2}(\boldsymbol{X}・\boldsymbol{Y})_{n3} \\
&=\mathrm{det}(\boldsymbol{X}・\boldsymbol{Y})
\end{align*}

(証明終)

 

成分より明らかに、テンソルのデターミナントについて

$$\mathrm{det}\boldsymbol{X}^T=\mathrm{det}\boldsymbol{X}$$

が成り立つ。

 

テンソルのスカラー積

テンソルの間に定義される積には、次の2種類のスカラー積がある。

ドット(・)を縦または横に2つ並べた演算記号で表される。

 

$$\mathrm{det}\boldsymbol{X}・\!\!\!・\mathrm{det}\boldsymbol{Y}=\mathrm{tr}(\boldsymbol{X}・\boldsymbol{Y})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{Y}・\boldsymbol{X})$$

\begin{align*}
\mathrm{det}\boldsymbol{X}:\mathrm{det}\boldsymbol{Y}&=\mathrm{tr}(\boldsymbol{X}・\boldsymbol{Y}^T)=\mathrm{tr}(\boldsymbol{X}^T・\boldsymbol{Y}) \\
&=\mathrm{tr}(\boldsymbol{Y}・\boldsymbol{X}^T)=\mathrm{tr}(\boldsymbol{Y}^T・\boldsymbol{X})
\end{align*}

 

これらのスカラー積の成分表示をしてみよう。

\begin{align*}
\mathrm{tr}(\boldsymbol{X}・\boldsymbol{Y}^T)&=\mathrm{tr}\{(X_{ij}\boldsymbol{e}_i\otimes\boldsymbol{e}_j)・(Y_{kl}\boldsymbol{e}_l\otimes\boldsymbol{e}_k)\} \\
&=\mathrm{tr}(X_{ij}Y_{kj}\boldsymbol{e}_i\otimes\boldsymbol{e}_k) \\
&=X_{ij}Y_{ij}
\end{align*}

\begin{align*}
\mathrm{tr}(\boldsymbol{X}・\boldsymbol{Y})&=\mathrm{tr}\{(X_{ij}\boldsymbol{e}_i\otimes\boldsymbol{e}_j)・(Y_{kl}\boldsymbol{e}_k\otimes\boldsymbol{e}_l)\} \\
&=\mathrm{tr}(X_{ij}Y_{jl}\boldsymbol{e}_i\otimes\boldsymbol{e}_l) \\
&=X_{ij}Y_{ji}
\end{align*}

$$\mathrm{det}\boldsymbol{X}・\!\!\!・\mathrm{det}\boldsymbol{Y}=X_{ij}Y_{ji}$$

$$\mathrm{det}\boldsymbol{X}:\mathrm{det}\boldsymbol{Y}=X_{ij}Y_{ij}$$

 

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