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ベクトル解析

マクスウェルの方程式から電磁場の波動方程式を導出する

ベクトル解析の練習として、電磁気学のマクスウェル方程式から電場・磁場に関する波動方程式を導出してみよう。 ここでは単に計算を行うだけで、物理的意味についての詳細は別で用意することとしたい。 マクスウェルの方程式 まず、電磁場の性質を記述するマクスウェルの方程式を紹介しておく。 \begin{case […]

ストークスの定理の証明

グリーンの定理、ガウスの発散定理に続き、ストークスの定理を証明していきます。 ストークスの定理は、グリーンの定理を3次元に拡張した定理です。 ストークスの定理 \(xyz\)-空間内で、有限個の閉曲線を境界とする曲面\(S\)と、\(S\)を含むある領域で定義されたベクトル場\(\mathbf{A} […]

ガウスの発散定理の証明と物理的意味

前回のグリーンの定理に引き続き、ガウスの発散定理について学んでいきます。 ガウスの発散定理 \(V\)を閉曲線\(S\)で囲まれた有界な閉領域、\(\mathbf{A}\)は\(V\)を含むある開集合で定義された\(C^1\)級ベクトル場とすると $$\iint_S\mathbf{A}・\mathb […]

グリーンの定理の証明

今回から、ベクトル解析の肝である、積分に関する定理について学んでいきます。 まずはグリーンの定理からはじめ、次回からガウスの発散定理とストークスの定理を示していきます。 線積分や面積分、体積積分を書き換えることができるこれらの定理は、電磁気学をはじめ様々な分野で活用することになりますので、証明の流れ […]

線積分と面積分の定義と計算方法【理工数学】

前回はベクトルの基礎的な演算について学びました。 ベクトル解析①ベクトルの基礎・スカラー場とベクトル場の演算公式【理工数学】 今回は、線積分および面積分について学んでいきます。 線積分 C^1級曲線 $$C:\mathbf{r}=\mathbf{r}(t) (\alpha\le t\le\beta) […]