前回はベクトルの基礎的な演算について学びました。
ベクトル解析①ベクトルの基礎・スカラー場とベクトル場の演算公式【理工数学】
今回は、線積分および面積分について学んでいきます。
線積分
C^1級曲線
$$C：\mathbf{r}=\mathbf{r}(t) (\alpha\le t\le\beta)$$
とC上の連続関数fが与えられており、Aを始点、Bを終点とします。[α，β]の分割：
$$\alpha=t_0<t_1<…<t_n=\beta$$
を考え、対応するCの分点をそれぞれ、
$$A=P_0，P_1，…，P_n=B$$
とします。弧P_{i-1}P_i (1≦i≦n)から任意の点Qiをとり、P_{i-1}P_iの弧長をΔsiとして、次の和
$$\sum^{n}_{i=1}f(Q_i)\Delta s_i$$
をとります。定積分の場合と同様に、この和は分割を細かくしていくことで、分割のとり方やQiの選び方とは無関係にある値Iに収束します。この値Iを、fのCに沿った線積分といい、
$$\int_Cfds$$
とかきます。Σの値をこの積分の近似値とよびます。
Qiに対応するtの値をtiとすると、
$$\Delta S_i～s'(t_i)\Delta t_i=|\mathbf{r}'(t_i)|\Delta t_i$$
より、
$$\sum^{n}_{i=1}f(Q_i)\Delta s_i～\sum^{n}_{i=1}f(\mathbf{r}(t_i))|\mathbf{r}'(t_i)|\Delta t_i$$
したがって、
$$\int_Cfds=\int_{\alpha}^{\beta}f(\mathbf{r}(t))|\mathbf{r}'(t)|dt$$
を得ます。
Cの向きを逆にした曲線を-Cと書くことにすると、
$$\int_{-C}fds=-\int_Cfds$$
また、Cが2つの曲線C1、C2に分割されるとき、
$$\int_Cfds=\int_{C_1+C_2}fds=\int_{C_1}fds+\int_{C_2}fds$$
が成り立ちます。
次に、先述の近似和において、Piのx座標をxiとしてΔsiの代わりにΔxi=xi-x_(i-1)をとることで、同様にしてfのCに沿うxに関する線積分
$$\int_Cfdx$$
が定義されます。この値は、次のように計算されます。
同様にして、y、zに関する線積分も定義されます。
ベクトル場の線積分
Cを含む領域で定義されたベクトル場Aの線積分を定義します。
ベクトルOPi=riとおき、和
$$\sum_{i=1}^{n}\mathbf{A}(Q_i)・\Delta\mathbf{r}_i ただし、\Delta\mathbf{r}_i=\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_{i-1}$$
をつくります。分割を細かくしていくと、この和はCとAだけによって定まる一定値に収束します。この値をAのCに沿う線積分といい、
$$\int_C\mathbf{A}・d\mathbf{r}$$
で表します。
$$\Delta\mathbf{r}_i～\mathbf{r}'(t_i)\Delta t_i$$
から
$$\mathbf{A}(Q_i)・\Delta\mathbf{r}_i～\mathbf{A}(\mathbf{r}(t_i))・\mathbf{r}'(t_i)\Delta t$$
より、次式を得ます。
さらに、
$$\Delta\mathbf{r}_i=\overrightarrow{P_{i-1}P_i}=(\Delta x_i,\Delta y_i,\Delta z_i)$$
とおくと
$$\mathbf{A}(Q_i)・\Delta\mathbf{r}_i=A_x(Q_i)\Delta x_i+A_y(Q_i)\Delta y_i+A_z(Q_i)\Delta z_i$$
より、次の等式を得ます。
$$\int_{C}\mathbf{A}・d\mathbf{r}=\int_CA_xdx+\int_CA_ydy+\int_CA_zdz$$
面積分
曲面SとS上の連続関数fが与えられているとします。Sを分割して各微小面積Siから任意の点Qiをとり、ΔSiをSiの曲面積として、和
$$\sum_{i=1}^nf(Q_i)\Delta S_i$$
をつくります。Sの分割を細かくしていくと、この和はSとfだけによって決まる一定値に収束します。この値をfのS上の面積分といい、
$$\int_SfdS$$
で表します。
Sがr=r(u, v)（(u, v)∈D）と表されるとき、次式を得ます。
次に、Sを含む領域で定義されたベクトル場Aに対して、Sの各点Pにおける単位法線ベクトルをn(P)として、f(P)=A(P)・n(P)の面積分を
$$\iint_S\mathbf{A}・\mathbf{n}dS$$
で表し、これをベクトル場Aのnで定められた側のS上の面積分といいます。
とくに
$$\mathbf{n}=\frac{\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}×\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}}{\left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}×\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} \right|}$$
のとき、
となります。
