ベクトル解析の練習として、電磁気学のマクスウェル方程式から電場・磁場に関する波動方程式を導出してみよう。
ここでは単に計算を行うだけで、物理的意味についての詳細は別で用意することとしたい。
マクスウェルの方程式
まず、電磁場の性質を記述するマクスウェルの方程式を紹介しておく。
\begin{cases}
\nabla・\boldsymbol{D}=\rho & (ガウスの法則)\\
\nabla・\boldsymbol{B}=0 & (磁場のガウスの法則)\\
\nabla\times\boldsymbol{E}+\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}=\boldsymbol{0} & (ファラデーの法則)\\
\nabla\times\boldsymbol{H}-\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}=\boldsymbol{i} & (アンペール・マクスウェルの法則)
\end{cases}
ここで、\(\boldsymbol{D}\)は電束密度、\(\boldsymbol{E}\)は電場の強度、\(\boldsymbol{B}\)は磁束密度、\(\boldsymbol{H}\)は磁場の強度、\(\rho\)は電荷密度、\(\boldsymbol{i}\)は電流密度である。
また、電場と電束密度、磁場と磁束密度について次の関係がある。
$$\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}，\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}$$
\(\varepsilon，\mu\)はそれぞれ誘電率、透磁率である。なお真空中でのこれらを下付きの0で表す。
波動方程式の導出
電場\(\boldsymbol{E}\)が波動方程式を満たすことを示す。
真空中のマクスウェルの方程式は、電荷密度および電流密度をゼロとして
\begin{cases}
\nabla・\boldsymbol{E}=0 &(ⅰ)\\
\nabla・\boldsymbol{B}=0 &(ⅱ)\\
\nabla\times\boldsymbol{E}+\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}=\boldsymbol{0} &(ⅲ)\\
\nabla\times\boldsymbol{B}-\displaystyle\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}=\boldsymbol{0} &(ⅳ)
\end{cases}
とかける。
(ⅲ)式より、
$$\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{E})+\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\boldsymbol{B})=\boldsymbol{0}$$
である。(ⅳ)式を右辺第二項に代入して
$$\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{E})+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}\right)=\boldsymbol{0}$$
$$\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{E})+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\boldsymbol{E}}{\partial t^2}=\boldsymbol{0}$$
となる。ここで、ベクトル解析の公式と(ⅰ)式を用いると
$$\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{E})=\nabla(\nabla・\boldsymbol{E})-(\nabla・\nabla)\boldsymbol{E}=-\nabla^2\boldsymbol{E}$$
となるので、最終的に
$$\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\boldsymbol{E}}{\partial t^2}=\nabla^2\boldsymbol{E}$$
を得る。
この波動の伝播速度\(v\)は
$$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$$
となる。
同様にすると、磁場\(\boldsymbol{H}\)も全く同じ形の波動方程式を満たすことを示すことができる。
$$\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\boldsymbol{H}}{\partial t^2}=\nabla^2\boldsymbol{H}$$
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