グリーンの定理の証明

ベクトル解析 $ベクトル解析$

今回から、ベクトル解析の肝である、積分に関する定理について学んでいきます。

まずはグリーンの定理からはじめ、次回からガウスの発散定理とストークスの定理を示していきます。

線積分や面積分、体積積分を書き換えることができるこれらの定理は、電磁気学をはじめ様々な分野で活用することになりますので、証明の流れや物理的な意味について理解しておくと役に立ちます。

1 グリーンの定理
2 単連結
- 2.1 系

グリーンの定理

Dをxy-平面上の有限個の単純閉曲線で囲まれた閉領域とする。

$P(x,y)、Q(x,y)$を、Dを含むある開集合上で$C^1$級の関数とすると、

$$\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy=\int_{\partial D}(Pdx+Qdy)$$

が成り立つ。ただし、境界$\partial D$の向きはDを左手にみて進む向きとする。

(証明)

Pに関して

$$-\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}dxdy=\int_{\partial D}Pdx　　・・・(＊)$$

が成立することを示す。

まず、Dが[a, b]上の連続関数$y_1(x)$、$y_2(x)$により

$${(x,y)|a\le x\le b，y_1(x)\le y\le y_2(x)}$$

と表される場合を考える。

境界∂Dの$x=a$または$x=b$の部分における(＊)の線積分は0なので、

\[
\begin{align*}
\int_{\partial D}P(x,y)dx & =\int_a^bP(x,y_1(x))dx+\int_b^aP(x,y_2(x))dx \\
& =\int_a^b\left(P(x,y_1(x))-P(x,y_2(x)) \right)dx \\
& =-\int_a^b\left(\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dy \right)dx \\
& =-\iint_D\frac{\partial P}{\partial y}dxdy
\end{align*}
\]

次に、Dが一般の場合は、y軸に平行な直線でDを分割すればよい。

Qについても同様にして証明可能。

(証明終)

ガウスの発散定理の証明と物理的意味

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ストークスの定理の証明

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単連結

平面上の領域Dにおいて、D内の任意の単純閉曲線の内部がDに含まれるとき、Dを単連結であるといいます。

単連結は、領域内に穴などの異常な場所が存在しないイメージです。一つの単純閉曲線で囲まれた領域は単連結です。

系

Dをxy-平面上の単連結な領域とする。D上の$C^1$級関数$P(x,y)、Q(x,y)$が

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

を満たすならば、D上の$C^2$級関数$f(x,y)$で次を満たすものが存在する。

$$\frac{\partial f}{\partial x}=P，\frac{\partial f}{\partial y}=Q$$

(証明)

共通の始点および終点を持つD内の曲線$C_1、C_2$に対し、閉曲線$C_1∪(-C_2)$の内部をΩとすると、Dは単連結なのでΩはDに含まれる。

よって、グリーン定理より

\[
\begin{align*}
0 & =\iint_{\Omega} \left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy=\int_{C_1\cup (-C_2)}(Pdx+Qdy) \\
& =\int_{C_1}(Pdx+Qdy)-\int_{C_2}(Pdx+Qdy)
\end{align*}
\]

ゆえに、

$$\int_{C_1}(Pdx+Qdy)=\int_{C_2}(Pdx+Qdy)$$

ここで、1点$(x_0, y_0)∈D$をとり、各点$(x, y)∈D$に対し

$$f(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}(P(\xi,\eta)d\xi+Q(\xi,\eta)d\eta)$$

とおく。右辺の線積分は$(x_0, y_0)$と$(x, y)$を結ぶ曲線の選び方によらないので、$f(x, y)$は1価関数である。

十分小さなhに対し、

$$\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{1}{h}\int_{(x,y)}^{(x+h,y)}(Pd\xi+Qd\eta)=\frac{1}{h}\int_{(x,y)}^{(x+h,y)}P(\xi ,\eta)d\xi$$

h→0として、∂f/∂x=Pを得る。

同様にして、∂f/∂y=Qを得る。

(証明終)

上記は、Dが単連結でないときには必ずしも成立しません。

例を以下に示します。

平面から原点を除いた領域をD、

$$P(x,y)=-y/(x^2+y^2)、Q(x,y)=x/(x^2+y^2)$$

とすると、

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2}$$

しかし、D上の$C^1$級関数$\theta(x,y)$で$\frac{\partial\theta}{\partial x}=P$かつ$\frac{\partial\theta}{\partial y}=Q$を満たすものは存在しない。

もし存在したとすると、rを正の定数、$0＜\varepsilon＜\pi$として

$$\theta(r\cos 2\pi,r\sin 2\pi)-\theta(r\cos\varepsilon,r\sin\varepsilon)$$

\[
\begin{align*}
& =\int_{\varepsilon}^{2\pi}\frac{d}{dt}\theta(r\cos t,r\sin t)dt \\
& =\int_{\varepsilon}^{2\pi}\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\frac{d(r\cos t)}{dt}+\frac{\partial\theta}{\partial y}\frac{d(r\sin t)}{dt}\right)dt \\
& =\int_{\varepsilon}^{2\pi}1dt=2\pi-\varepsilon
\end{align*}
\]

ε→+0とすることにより、θ(x, y)は点(r, 0)で不連続となり、D上で$C^1$級であるという仮定に反する。

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