ガウスの発散定理の証明と物理的意味

ベクトル解析 $ベクトル解析$

前回のグリーンの定理に引き続き、ガウスの発散定理について学んでいきます。

1 ガウスの発散定理
- 1.1 ガウスの定理の物理的意味

ガウスの発散定理

$V$を閉曲線$S$で囲まれた有界な閉領域、$\mathbf{A}$は$V$を含むある開集合で定義された$C^1$級ベクトル場とすると

$$\iint_S\mathbf{A}・\mathbf{n}dS=\iiint_Vdiv\mathbf{A}dV　（dV=dxdydz）$$

が成立する。ここで、$\mathbf{n}$は$S$の外向き単位法線ベクトルである。

(証明)

$\mathbf{n}=(n_x，n_y，n_z)$として

$$\iint_S(A_xn_x+A_yn_y+A_zn_z)dS=\iiint_V\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} \right)dV$$

$A_x、A_y、A_z$それぞれについて考える。まず、$A_z$について

$$\iint_SA_z・n_zdS=\iiint_V\frac{\partial A_z}{\partial z}dV　・・・(＊)$$

を示す。

最初に、$V$が$xy$-平面上の閉領域$D$で定義された$C^1$級関数$z_1(x, y)、z_2(x, y)$によって

$$｛(x, y, z)|(x, y)∈D，z_1(x, y)≦z≦z_2(x, y)｝$$

を表される場合を示す。

$V$の境界面は、$S_1：z=z_1(x, y)、S_2：z=z_2(x, y)$、および$xy$-平面に垂直な側面$S_0$からなる。

(＊)の左辺を$S_0、S_1、S_2$の部分に分ける。このうち、$S_0$の部分の面積分については、$S_0$での法線ベクトルはz軸に垂直かつ$n_z=0$なので、0である。$S_1$の部分については、法線ベクトルは$V$の内向きとなることから、

$$\iint_{S_1}A_zn_zdS=-\iint_DA_zdxdy=-\iint_DA_z(x,y,z_1(x,y))dxdy$$

$S_2$の部分については、法線ベクトルは$V$の外向きとなることから、

$$\iint_{S_2}A_zn_zdS=\iint_DA_zdxdy=\iint_DA_z(x,y,z_2(x,y))dxdy$$

よって、(＊)の左辺は

\[
\begin{align*}
&\iint_D\{A_z(x,y,z_2(x,y))-A_z(x,y,z_1(x,y))\}dxdy \\
&=\iint_D\left(\int_{z_1(x,y,z)}^{z_2(x,y,z)}\frac{\partial A_z}{\partial z}dz \right)dxdy \\
&=\iiint_V\frac{\partial A_z}{\partial z}dxdydz=(＊)右辺
\end{align*}
\]

一般の$V$に対しては、$V$をz軸に平行ないくつかの平面で分割し、各部分に対して同様にすればよい。

(証明終)