ストークスの定理の証明

ベクトル解析 $ベクトル解析$

グリーンの定理、ガウスの発散定理に続き、ストークスの定理を証明していきます。

ストークスの定理は、グリーンの定理を3次元に拡張した定理です。

1 ストークスの定理

ストークスの定理

$xyz$-空間内で、有限個の閉曲線を境界とする曲面$S$と、$S$を含むある領域で定義されたベクトル場$\mathbf{A}$に対して

$$\iint_Srot\mathbf{A}・\mathbf{n}dS=\int_C\mathbf{A}・d\mathbf{r}$$

が成立する。ここで$C$は$S$の境界で、その向きは$S$を左手に見て進む向きとする。$\mathbf{n}$の向きは$S$の裏側から表側に向かう方向とする。

(証明)

$\mathbf{n}=(n_x,n_y,n_z)$とし、ストークスの定理を成分で書き下すと

$$\iint_S\left[\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)n_x+\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)n_y+\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)n_z\right]dS$$

$$=\int_C(A_xdx+A_ydy+A_zdz)$$

このうち、両辺の$A_x、A_y、A_z$に関する部分がそれぞれ等しいことを示す。例えば

$$\iint_S\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}n_y-\frac{\partial A_x}{\partial y}n_z\right)dS=\int_CA_xdx　・・・(＊)$$

まず、$S$が$uv$-平面上の単純閉曲線$\Gamma$で囲まれた領域$D$上で$\mathbf{n}=\mathbf{n}(u, v)$とパラメータ表示され、さらに$\mathbf{n}(u, v)$は$D$上で$C^2$級かつ1対1の場合を考える。このとき、

$$n_ydS=\left(\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial z}{\partial u}-\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}\right)dudv$$

$$n_zdS=\left(\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}\right)dudv$$

ここで、$\displaystyle\frac{\partial A_x}{\partial u}，\frac{\partial A_x}{\partial v}$に合成関数の微分公式を適用すると

\[
\begin{align*}
\ (＊)の左辺 & =\iint_D\left(\frac{\partial A_x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}-\frac{\partial A_x}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial u} \right)dudv \\
& =\iint_D\left[\frac{\partial }{\partial u}\left(A_x\frac{\partial x}{\partial v}\right)-\frac{\partial }{\partial v}\left(A_x\frac{\partial x}{\partial u}\right)\right]dudv \\
グリーンの定理より \\
& =\int_{\Gamma}A_x\left(\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv\right) \\
& =\int_CA_xdx=(＊)の右辺
\end{align*}
\]

一般の場合について、$S$は局所的に上記の仮定を満たすため、$S$を十分に細かく分けて各部分が仮定を満たすようにすればよい。

各部分で(＊)を適用してそれらの和をとることで示される。

(証明終)

グリーンの定理、ガウスの定理については以下の記事をご参照ください。

グリーンの定理の証明

[mathjax] 今回から、ベクトル解析の肝である、積分に関する定理について学んでいきます。まずはグリーンの定理からはじめ、次回からガウスの発散定理とストークスの定理を示していきます。線積分や面積分、体積積分を書き換[…]