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複素関数

ラプラス変換の基礎

別の記事(ラプラス変換で微分方程式を解く)でも簡単に紹介したが、ラプラス変換について改めて学んでいこう。 ラプラス変換の定義 関数f(t)のラプラス変換を次式で定義する。 $$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$ ただし、sは複素 […]

複素関数のテイラー展開と収束半径

実数関数について定義したテイラー展開を、複素関数についても定義していく。 テイラー展開 定義 複素関数\(f(z)\)は、点\(a\)を中心とする半径\(R\)の円およびその内部の領域で正則とする。 このとき、円の内部の点\(z_0\)について、次式が成立する。 $$f(z_0)=\sum_{n=0 […]

コーシー・リーマンの関係式の例題3問

コーシー・リーマンの関係式については以下の記事をご参照ください。 複素関数の微分可能性とコーシー・リーマンの関係式   以下の複素関数f(z)が微分可能であるか判別せよ。微分可能である場合、微分可能な領域も述べよ。 複素関数は、コーシー・リーマンの関係式を満たす点で微分可能であることを利用 […]

複素関数の微分可能性とコーシー・リーマンの関係式

複素関数の微分は、実数関数の微分と似た点も多い。しかし、微分可能性についてはより深い議論が必要になる。 ここでは、複素関数の微分可能性を判定する重要な関係式である、コーシー・リーマン(Cauchy-Riemann)の関係式を導く。 複素関数の微分 連続性 任意の\(\varepsilon>0\ […]

複素フーリエ級数展開式の導出と計算例

前回(フーリエ級数展開)に引き続き、複素関数の場合のフーリエ級数展開の式を学びます。 複素フーリエ級数展開 周期\(T\)を持つ複素関数\(g(t)\)のフーリエ級数展開およびフーリエ係数は次式で与えられる。 $$g(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}c_ne^{i\frac{2\ […]