複素フーリエ級数展開式の導出と計算例

前回(フーリエ級数展開)に引き続き、複素関数の場合のフーリエ級数展開の式を学びます。

複素フーリエ級数展開

周期\(T\)を持つ複素関数\(g(t)\)のフーリエ級数展開およびフーリエ係数は次式で与えられる。

$$g(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}c_ne^{i\frac{2\pi nt}{T}}$$

$$c_n=\frac{1}{T}\int_0^Tg(t)e^{-i\frac{2\pi nt}{T}}dt$$

導出

オイラーの公式(導出)より

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

$$\cos\theta=\frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta}),\sin\theta=\frac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})$$

と書けるので、

$$\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{i\frac{2\pi nt}{T}}+e^{-i\frac{2\pi nt}{T}}\right)$$

$$\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)=\frac{1}{2i}\left(e^{i\frac{2\pi nt}{T}}-e^{-i\frac{2\pi nt}{T}}\right)$$

これをフーリエ級数展開の式(参照)に代入する。

\[
\begin{align*}
g(t) & =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{a_n}{2}\left(e^{i\frac{2\pi nt}{T}}+e^{-i\frac{2\pi nt}{T}}\right)+\frac{b_n}{2i}\left(e^{i\frac{2\pi nt}{T}}-e^{-i\frac{2\pi nt}{T}}\right)\right] \\
& =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n-ib_n}{2}e^{i\frac{2\pi nt}{T}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-i\frac{2\pi nt}{T}}
\end{align*}
\]

 

ここで、新たな係数\(c_n (n=0,\pm1,\pm2,\cdots)\)を定義する。

$$c_n=\frac{a_n-ib_n}{2} (n\ge 1),c_{-n}=\frac{a_n+ib_n}{2} (n\ge 1),c_0=\frac{a_0}{2}$$

これを用いると

\[
\begin{align*}
g(t) & =c_0+\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}e^{i\frac{2\pi nt}{T}}+\sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}e^{-i\frac{2\pi nt}{T}} \\
& =c_0+\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}e^{i\frac{2\pi nt}{T}}+\sum_{n=-1}^{-\infty}c_{n}e^{i\frac{2\pi nt}{T}} \\
& =\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{i\frac{2\pi nt}{T}}
\end{align*}
\]

となる。次に、複素フーリエ級数は

\[
\begin{align*}
c_n & =\frac{1}{2}(a_n-ib_n) \\
& =\frac{1}{2}\left[\frac{2}{T}\int_0^Tg(t)\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt-i\frac{2}{T}\int_0^Tg(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt\right] \\
& =\frac{1}{T}\int_0^Tg(t)\left[\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)-i\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]dt \\
& =\frac{1}{T}\int_0^Tg(t)e^{-i\frac{2\pi nt}{T}}dt
\end{align*}
\]

として求めることができる。

 

周期をもつ指数関数の複素フーリエ級数

指数関数で構成された周期関数の計算例を示します。

\(0\le t\lt T\)において\(e^{-at}(a\gt 0)\)であるとすると

\[
\begin{align*}
c_n & =\frac{1}{T}\int_0^Te^{-at}e^{-i\frac{2\pi nt}{T}}dt \\
& =\frac{1}{T}\int_0^Te^{-\left(a+\frac{2n\pi i}{T}\right)t}dt \\
& =\frac{1}{T}\left(-\frac{1}{a+\frac{2n\pi i}{T}}\right)\left[e^{-\left(a+\frac{2n\pi i}{T}\right)t}\right]_0^T \\
& =-\frac{1}{aT+2n\pi i}(e^{-(aT+2n\pi i)}-1) \\
& =\frac{1}{aT+2n\pi i}(1-e^{-aT}) \\
& =\frac{aT-2n\pi i}{(aT)^2+(2n\pi)^2}(1-e^{-aT})
\end{align*}
\]

 

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