コーシー・リーマンの関係式については以下の記事をご参照ください。
以下の複素関数f(z)が微分可能であるか判別せよ。微分可能である場合、微分可能な領域も述べよ。
複素関数は、コーシー・リーマンの関係式を満たす点で微分可能であることを利用する。
\((1) f(z)=1/z\) (\(z=0\)は除く)
$$f(x, y)=\frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}$$
より
$$u=\frac{x}{x^2+y^2}，v=\frac{-y}{x^2+y^2}$$
これから
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2} ， \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}$$
$$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2} ， \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}$$
コーシー・リーマンの関係式が成立している。
したがって、(x, y)=(0, 0)を除いた領域で微分可能である。
\((2) f(z)=Re(z)\)
$$f(x, y)=xより、u=x，v=0$$
$$\frac{\partial u}{\partial x}=1 ， \frac{\partial v}{\partial y}=0$$
となり、すべての点でコーシー・リーマンの関係式を満たさないので、全平面で微分可能でない。
\((3) f(z)=|z|^2\)
$$f(x,y)=x^2+y^2より、u=x^2+y^2，v=0$$
$$\frac{\partial u}{\partial x}=2x ， \frac{\partial u}{\partial y}=2y$$
$$\frac{\partial v}{\partial x}=0 ， \frac{\partial v}{\partial y}=0$$
よって、(x, y)=(0, 0)においてのみ微分可能である。
\((4) f(z)=\bar{z}^2\)
$$f(x,y)=(x-iy)^2=x^2-y^2-2ixy=(x^2-y^2)+i(-2xy)$$
より、
$$u=x^2-y^2，v=-2xy$$
$$\frac{\partial u}{\partial x}=2x ， \frac{\partial u}{\partial y}=-2y$$
$$\frac{\partial v}{\partial x}=-2y ， \frac{\partial v}{\partial y}=-2x$$
コーシー・リーマンの関係式が成り立つのは、
\[
\begin{cases}
2x=-2x \\
-2y=2y
\end{cases}
\]
\(x=y=0\)のときのみ。よって、(x, y)=(0, 0)においてのみ微分可能である。
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