複素関数の微分可能性とコーシー・リーマンの関係式

複素関数の微分は、実数関数の微分と似た点も多い。しかし、微分可能性についてはより深い議論が必要になる。

ここでは、複素関数の微分可能性を判定する重要な関係式である、コーシー・リーマン(Cauchy-Riemann)の関係式を導く。

複素関数の微分

連続性

任意の\(\varepsilon>0\),ある\(\delta>0\)が存在して、\(|z-z_0|<\delta\)であるときに\(|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon\)が成り立つとき、

$$\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$$

となる。

これは実数関数の場合と同様の表現である。

微分

$$\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=A (A\in\mathbb{C})$$

なる\(A\)が存在するとき、\(f(z)\)は点\(z_0\)で微分可能であるという。

ここで注目すべきは、\(z\to z_0\)の近づき方が無数に存在していることである。(実数関数の場合、+0と-0の両方から近づくときに一致するかどうかを確かめた。)

 

複素平面上での近づき方を考える。

(1) 実数方向から近づくとき

\(z=z_0+\Delta x\)とすると、

\[
\begin{align*}
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} & =\frac{f(z_0+\Delta x)-f(z_0)}{\Delta x} \\
& =\frac{\partial}{\partial x}f(z_0)
\end{align*}
\]

(2) 虚数方向から近づくとき

\(z=z_0+i\Delta y\)とすると、

\[
\begin{align*}
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} & =\frac{f(z_0+i\Delta y)-f(z_0)}{i\Delta y} \\
& =\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial y}f(z_0)
\end{align*}
\]

以上(1)、(2)から、次のことがわかる。

\(f’\)が存在するとき、

$$f’=\frac{\partial}{\partial x}f=\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial y}f$$

を満たさなければならない。

コーシー・リーマンの関係式

\(f=u(x, y)+iv(x, y) (u, v\in\mathbb{R})\)とおく。上の条件式は

$$f’=\frac{\partial}{\partial x}f=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$$

一方、

$$f’=\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial y}f=\frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$$

係数を比較して、次の関係を得る。

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} , \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$$

これを、コーシー・リーマンの関係式と呼ぶ。

結局、複素関数の微分可能性は次のようにまとめられる。

 

「\(f(z)\)が点\(z_0\)で微分可能」⇔「\(u, v\)がともに点\((x_0, y_0)\)で微分可能かつコーシー・リーマンの関係式が成立する」

 

微分可能性の判定に関する例題は以下の記事を参照のこと。

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微分演算

実数関数の微分と同様に行うことができる。

 

正則性

\(K\)を複素平面上の開集合とし、\(f(z)\)は\(K\)で定義された関数かつ\(K\)の各点で微分可能であるとき、\(f(z)\)は\(K\)で正則関数であるという。

例えば、\(f(z)=1/z\)は、\(z=0\)を含まない\(K\)で正則関数である。

 

正則はかなり強い条件である。

正則な関数は、その各点で何度でも微分可能であることが約束される。

 

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