複素関数の微分可能性とコーシー・リーマンの関係式

複素関数論 $複素関数論$

複素関数の微分は、実数関数の微分と似た点も多い。しかし、微分可能性についてはより深い議論が必要になる。

ここでは、複素関数の微分可能性を判定する重要な関係式である、コーシー・リーマン(Cauchy-Riemann)の関係式を導く。

1 複素関数の微分
2 正則性

複素関数の微分

連続性

任意の$\varepsilon>0$，ある$\delta>0$が存在して、$|z-z_0|<\delta$であるときに$|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon$が成り立つとき、

$$\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$$

となる。

これは実数関数の場合と同様の表現である。

微分

$$\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=A　(A\in\mathbb{C})$$

なる$A$が存在するとき、$f(z)$は点$z_0$で微分可能であるという。

ここで注目すべきは、$z\to z_0$の近づき方が無数に存在していることである。（実数関数の場合、+0と-0の両方から近づくときに一致するかどうかを確かめた。）

複素平面上での近づき方を考える。

(1) 実数方向から近づくとき

$z=z_0+\Delta x$とすると、

\[
\begin{align*}
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} & =\frac{f(z_0+\Delta x)-f(z_0)}{\Delta x} \\
& =\frac{\partial}{\partial x}f(z_0)
\end{align*}
\]

(2) 虚数方向から近づくとき

$z=z_0+i\Delta y$とすると、

\[
\begin{align*}
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} & =\frac{f(z_0+i\Delta y)-f(z_0)}{i\Delta y} \\
& =\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial y}f(z_0)
\end{align*}
\]

以上(1)、(2)から、次のことがわかる。

$f’$が存在するとき、

$$f’=\frac{\partial}{\partial x}f=\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial y}f$$

を満たさなければならない。

コーシー・リーマンの関係式

$f=u(x, y)+iv(x, y)　(u, v\in\mathbb{R})$とおく。上の条件式は

$$f’=\frac{\partial}{\partial x}f=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$$

一方、

$$f’=\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial y}f=\frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$$

係数を比較して、次の関係を得る。

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}　，　\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$$

これを、コーシー・リーマンの関係式と呼ぶ。

結局、複素関数の微分可能性は次のようにまとめられる。

「$f(z)$が点$z_0$で微分可能」⇔「$u, v$がともに点$(x_0, y_0)$で微分可能かつコーシー・リーマンの関係式が成立する」

微分可能性の判定に関する例題は以下の記事を参照のこと。

コーシー・リーマンの関係式の例題３問

[mathjax] コーシー・リーマンの関係式については以下の記事をご参照ください。複素関数の微分可能性とコーシー・リーマンの関係式以下の複素関数f(z)が微分可能であるか判別せよ。微分可能であ[…]