テンソルの不変量の導出
テンソルの各成分は座標系の取り方に依存して変化する。 しかし、成分を組み合わせてつくられる量のなかには座標系によらず値が変わらない量が存在し、これを不変量と呼ぶ。 スカラーやベクトルの内積、行列のトレースや行列式などは座標系によらず、不変量である。 この記事では、テンソルの固有方程式か […]
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行列式
固有値・固有ベクトルの定義と求め方
行列のもつ重要な特徴量である、固有値・固有ベクトルについて解説する。 固有値・固有ベクトルの概念はあらゆる分野で登場する。 特に、この後で学ぶ「行列の対角化」においては欠かせないので、計算方法も含めてしっかり理解しておこう。 固有値と固有ベクトルの定義 まず、固有値と固有ベクトルの定義 […]
行列のランクの求め方と性質
これまでの記事で、ベクトルの一次独立や行列の基本変形、連立方程式の解法について学んできた。 今回は、行列の基本的な特徴量のひとつであるランクについて学ぶ。 行列のランク（行列の階数とも）は、逆行列の存在や連立方程式の解の性質などとも関係が深く、重要な量である。 行列のランクの計算方法と […]
余因子展開と行列の基本変形による行列式の計算方法
余因子と余因子行列については以前の記事で学んだ。 ややこしい計算をしてまで余因子を計算したのは、行列式や逆行列を求めるときに利用できるからである。 ここでは余因子を用いて行列式を求める方法を説明し、例を用いて具体的に計算してみる。 さらに、行列の基本変形と行列式の値の関係を利用して計算 […]
サラスの公式による行列式の計算方法
正方行列について定義される行列式は逆行列を求める場合などに用いられる重要な量である。 ２次の行列であればその行列式は容易に計算することができるが、３次以上になると計算量が多く複雑になってしまう。 ここでは、３次正方行列の行列式の求め方を簡単に覚える方法である「サラスの公式」（サラスの方 […]