偏微分②多変数関数の極限と連続性に関する諸定理【理工数学】
前回学んだ点集合をもとに、関数について論じていきます。 平面上の点集合Dの各点に、何らかの方法で実数が対応しているとき、D上の一つの関数fが与えられたとします。D上の点Pに対応する値をf(P)で表し、関数f(P)のように書くこととします。このDを関数f(P)の定義域と呼びます。 関数f […]
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極限
曲線の数学①空間曲線のベクトル表示とベクトルの微分、物理的意味合いについて【理工数学】
今回から数回にわたって、曲線についての学習をしていきます。 第一回のこの記事では、まず空間中の曲線をベクトルによって表示し、その微分の定義と意味合い、ベクトルの微分公式について書いていきます。 空間曲線の表し方 $$閉区間[\alpha ,\beta]上の連続関数x=x(t), y=y(t), z= […]
ロピタルの定理の証明と例題、使うときの注意点
前回の記事では、不定形の極限とコーシーの平均値の定理について学習しました。 今回は、不定形の極限を簡単に求める方法「ロピタルの定理(l’Hôpital’s rule)」の証明と例題を用いた使い方、注意点について学んでいきます。 ロピタルの定理 先に、ロピタルの定理を述べておき […]
不定形の極限①コーシーの平均値の定理の証明【理工数学】
高校数学の範囲で極限を計算しようとすると、0/0などの形になってしまいうまく計算できないことがありました。こういう場合には、式変形などを駆使し工夫して計算する必要がありますが、慣れるまでは結構難しいと思います。(例えば、sinx/xの極限値 ～はさみうちの原理による計算方法を解説【理工数学】) 実は […]
sinx/xの極限値 ～はさみうちの原理による計算方法を解説
はさみうちの原理を利用した極限値の計算の有名な例である、 $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$$ の求め方を解説していきます。 まず、下図のような状態を考えます。 ∠OAT\(=\pi/2\)、∠AOT\(=x\) \((0\lt x\lt \pi/2)\ […]
数列の収束・発散とコーシーの収束判定
今回は、数列の収束・発散に関する定義とその記法について学習していきます。 数列とその表し方 数列(sequence)とは、読んで字のごとく「数を列のように並べたもの」のことです。たとえば、自然数を小さいほうから順に並べてできる $$1, 2, 3, 4, \cdots$$ は数列となります。数列を構 […]