重積分

重積分による体積・曲面積の計算方法

重積分を用いて、体積や曲面の面積を計算することができます。 体積の定式化 空間における体積確定な点集合Vの体積|V|は $$|V|=\iiint_Vdxdydz$$ で与えられます。 特に、Vが平面\(x=a, x=b (a<b)\)の間にあるとき、 $$|V|=\int_a^b\left(\ […]

三重積分の計算ー円柱座標・極座標のヤコビアンと変数変換

重積分を空間での積分に拡張していきます。 三重積分 空間の直方体分割を考えることで、三重積分を定義することができます。 xyz-空間内の点集合V上の関数f(x, y, z)の三重積分を $$\iiint_Vf(x,y,z)dxdydz　または　\iiint_Vf(P)dxdydz$$ とかきます。 […]

ヤコビアンによる重積分の変数変換と計算例

重積分の計算方法その２では、変数変換について学びます。1変数のときよりも変換方法が複雑になります。 累次積分法についてはこちら　⇒　重積分の計算その１ 変数変換の準備 置換積分の公式 $$\int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi'(t)dt […]

広義重積分の定義と重積分の収束・発散

1変数のとき(広義積分の定義、広義積分の収束)と同様に、重積分についても広義積分を考えていきます。 広義重積分 有界集合上の非有界関数の重積分および非有界集合上での重積分を定義する。そのために平面上の点集合(非有界でもよい)\(D\)に対して、\(D\)の近似列を次のように定義する。 近似列\(\{ […]

重積分②重積分の計算方法その１ー累次積分と計算例【理工数学】

重積分①では、重積分の定義について述べました。しかし、重積分の値を定義に基づいて計算することは困難です。 ここから、重積分の実用的な計算方法にを学んでいきたいと思います。 累次積分 重積分を、1変数の積分の繰り返しで計算する方法を累次積分といいます。 定理 $$\phi_1(x)、\phi_2(x) […]