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テンソル

静水圧応力・偏差応力と不変量

物体に働く応力は「体積変化」のみに寄与する成分と「形状変化」のみに寄与する成分にわけることができ、前者を静水圧応力、後者を偏差応力という。 塑性変形においては静水圧の影響は無視できると考えられるため、偏差応力を利用して理論が展開される。 この記事は、静水圧応力および偏差応力の定義と考え方を学び、偏差 […]

ひずみ‐変位関係式の図解とひずみテンソル

この記事では、変位とひずみの関係式を導出する。 垂直ひずみ、せん断ひずみの定義については既に別の記事で述べた。 ここでは、面素の変形に基づいて各ひずみ成分の式を求め、ひずみテンソルを定義する。工学的せん断ひずみとせん断ひずみの違いに特に注意してほしい。   ひずみ-変位関係式 簡単のため、 […]

応力テンソルの定義と物理的意味を図解

この記事では、応力の表し方について解説する。 垂直応力、せん断応力についての簡単な説明は別の記事で既に述べたが、今回はより一般化した応力ベクトル・応力テンソルを取り扱う。 応力やひずみは二階テンソルで表され、塑性力学や有限要素法などの応用分野ではテンソルとして扱う必要がある。ここでその概念を理解して […]

テンソルの不変量の導出

テンソルの各成分は座標系の取り方に依存して変化する。 しかし、成分を組み合わせてつくられる量のなかには座標系によらず値が変わらない量が存在し、これを不変量と呼ぶ。 スカラーやベクトルの内積、行列のトレースや行列式などは座標系によらず、不変量である。   この記事では、テンソルの固有方程式か […]

テンソルのトレースとデターミナント

この記事では、テンソルのトレース(跡)とデターミナント(行列式)を定義し、その性質について紹介する。 これらの量は、後ほど学ぶテンソルの不変量にも登場する。 また、トレースを用いてテンソルのスカラー積を定義することができる。   トレース テンソル\(\boldsymbol{X}\)のトレ […]

総和規約について

ベクトルやテンソルの演算を行うとき、総和記号を省略すると簡単に記述することができるようになる。 このような記述方法を総和規約(summation convention)という。 以下では総和規約のルールについて紹介し、使い方を解説する。   総和規約 二つのベクトル\(\boldsymbo […]

テンソルの定義とテンソル積について

今後の応用のため、テンソルの概念について簡単に学んでおくことにする。 テンソルという単語自体は様々な分野で出会うことになるだろうが、その概念を正確に理解しようとするとかなりハードルが高い。 ここでは、テンソルとは何かを掘り下げるのではなく、応用のためテンソルの演算について理解することを目的とする。 […]