テンソルの不変量の導出
テンソルの各成分は座標系の取り方に依存して変化する。 しかし、成分を組み合わせてつくられる量のなかには座標系によらず値が変わらない量が存在し、これを不変量と呼ぶ。 スカラーやベクトルの内積、行列のトレースや行列式などは座標系によらず、不変量である。 この記事では、テンソルの固有方程式か […]
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固有値
ジョルダン標準形の求め方
いよいよ線形代数基礎のゴールのひとつである、ジョルダン標準形について学ぶ。 ジョルダン標準形を求める目的は、簡単にいうと対角化できない行列を対角っぽい行列に変換することである。 広い意味では、対角行列もジョルダン標準形に含まれる。 この記事では、「２次および３次のジョルダ […]
行列の指数関数の定義と計算例
行列の対角化およびn乗の計算を学んできたが、これらと関わりのある行列演算をもう一つ紹介しておく。 それは行列の指数関数と呼ばれるものである。 行列の指数関数は、通常の指数関数を行列に拡張したもので、微分方程式の解法にも用いることができる。 ここでは、行列の指数関数の定義と性質、そして具 […]
実対称行列の性質と直交行列による対角化
前回の記事では、一般の行列の対角化の条件や計算手順を学んだ。 ここでは、実対称行列に着目して、その性質および対角化について解説する。 実対称行列とは 成分がすべて実数である対称行列を実対称行列という。 $$\overline{A}=A（実行列） かつ A^T=A（対称行列）$$ 各成分 […]
対角化による３次正方行列のn乗の計算例
行列の対角化の応用例として、n乗の計算がある。 ここでは、3×3行列の対角化によるn乗計算の例題を紹介する。 課題や試験で問われることも多いので、ご参考まで。 復習 行列の固有値・固有ベクトルおよび対角化に関する知識が必要になる。 これらの項目について復習したい方は、以下の記事を参照の […]
行列の対角化の手順と計算例
前回は行列の固有値と固有ベクトルの求め方を学んだ。 ここでは、この応用として重要な行列の対角化を紹介する。 線形代数では、行列の対角化は必ず学ぶ内容である。 対角行列は取り扱いがしやすいという利点があり、例えば行列のn乗の計算などに利用することができる。 行列の対角化とは […]
固有値・固有ベクトルの定義と求め方
行列のもつ重要な特徴量である、固有値・固有ベクトルについて解説する。 固有値・固有ベクトルの概念はあらゆる分野で登場する。 特に、この後で学ぶ「行列の対角化」においては欠かせないので、計算方法も含めてしっかり理解しておこう。 固有値と固有ベクトルの定義 まず、固有値と固有ベクトルの定義 […]