対角化による3次正方行列のn乗の計算例

行列の対角化の応用例として、n乗の計算がある。

ここでは、3×3行列の対角化によるn乗計算の例題を紹介する。

課題や試験で問われることも多いので、ご参考まで。

 

復習

行列の固有値・固有ベクトルおよび対角化に関する知識が必要になる。

これらの項目について復習したい方は、以下の記事を参照のこと。

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対角化による行列のn乗計算の手順は以下の通り。

  1. 行列\(A\)の固有値・固有ベクトルを求め、変換行列\(P\)をつくる
  2. 対角行列\(P^{-1}AP\)を得る
  3. \((P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP\)を利用して、元の行列の\(n\)乗\(A^n\)を求める

 

演習問題

次の行列\(A\)の\(n\)乗を求めよ。

\[A=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
-2 & 1 & -1
\end{array}
\right)\]

 

(解)

行列\(A\)の固有方程式

\[\begin{align*}|A-\lambda E|&=\left|
\begin{array}{ccc}
1-\lambda & -1 & 0 \\
1 & 2-\lambda & 1 \\
-2 & 1 & -1-\lambda
\end{array}
\right| \\
&=(1-\lambda)(2-\lambda)(-1-\lambda)=0
\end{align*}\]

より、固有値\(\lambda=-1,1,2\)である。すべての固有値が異なるため、この行列は対角化可能である。

次に、固有ベクトルを求める。

\(\lambda=-1\)のとき

\begin{align*}\left(\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0 \\
1 & 3 & 1 \\
-2 & 1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right)~\to~\left(\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0 \\
7 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right)\end{align*}

すなわち

\begin{cases}
x_2=2x_1 \\
x_3=-7x_1
\end{cases}

したがって、固有ベクトルは

\begin{align*}\boldsymbol{x}_1=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
-2 \\
7
\end{array}\right)\end{align*}

\(\lambda=1\)のとき

\begin{align*}\left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
-2 & 1 & -2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right)~\to~\left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right)\end{align*}

すなわち

\begin{cases}
x_2=0 \\
x_3=-x_1
\end{cases}

したがって、固有ベクトルは

\begin{align*}\boldsymbol{x}_2=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right)\end{align*}

\(\lambda=2\)のとき

\begin{align*}\left(\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
-2 & 1 & -3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right)~\to~\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right)\end{align*}

すなわち

$$x_2=x_3=-x_1$$

したがって、固有ベクトルは

\begin{align*}\boldsymbol{x}_3=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
1
\end{array}\right)\end{align*}

よって、変換行列\(P=(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{x}_3)\)は

\[P=\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & -1 \\
-2 & 0 & 1 \\
7 & 1 & 1
\end{array}
\right)\]

となる。また、Pの逆行列は掃き出し法により

\[\begin{align*}
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
-2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
7 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right) &\longmapsto \left(
\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 3 & -2 & 1 & 0 \\
0 & -6 & -6 & 7 & 0 & 1
\end{array}
\right) \\ &\longmapsto \left(
\begin{array}{ccc|ccc}
6 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 4 & 6 & -4 & 2 & 0 \\
0 & -6 & -6 & 7 & 0 & 1
\end{array}
\right) \\ &\longmapsto \left(
\begin{array}{ccc|ccc}
6 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 6 & 0 & -9 & -6 & -3 \\
0 & -6 & -6 & 7 & 0 & 1
\end{array}
\right) \\ &\longmapsto \left(
\begin{array}{ccc|ccc}
6 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 6 & 0 & -9 & -6 & -3 \\
0 & 0 & 6 & 2 & 6 & 2
\end{array}
\right)
\end{align*}\]

\[∴P^{-1}=\frac{1}{6}\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
-9 & -6 & -3 \\
2 & 6 & 2
\end{array}
\right)\]

と求められる。

行列\(A\)を対角化すると

\[P^{-1}AP=\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right)\]

となり、これを\(n\)乗すると

\[(P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP=\left(
\begin{array}{ccc}
(-1)^n & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2^n
\end{array}
\right)\]

したがって

\[\begin{align*}A^n&=\frac{1}{6}\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & -1 \\
-2 & 0 & 1 \\
7 & 1 & 1
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{ccc}
(-1)^n & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2^n
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
-9 & -6 & -3 \\
2 & 6 & 2
\end{array}
\right) \\
&=\frac{1}{6}\left(
\begin{array}{ccc}
-(-1)^n+9-2・2^n & 6-6・2^n & -(-1)^n+3-2・2^n \\
-2(-1)^n+2・2^n & 6・2^n & -2(-1)^n+2・2^n \\
7(-1)^n-9+2・2^n & -6+6・2^n & 7(-1)^n-3+2・2^n
\end{array}
\right)
\end{align*}\]

 

以上、かなり煩雑な計算をする必要があるが、これまで学んだ内容を理解していればそれほど難しくはない。

 

まとめページ

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