いよいよ線形代数基礎のゴールのひとつである、ジョルダン標準形について学ぶ。
ジョルダン標準形を求める目的は、簡単にいうと対角化できない行列を対角っぽい行列に変換することである。
広い意味では、対角行列もジョルダン標準形に含まれる。
この記事では、「２次および３次のジョルダン標準形の求め方」を中心に解説する。
先に述べたジョルダン細胞を対角線上に並べ、他の成分がすべてゼロであるような行列をジョルダン標準形と呼ぶ。
4次以上の場合はジョルダン標準形の判別のために追加の情報が必要になるが、そのあたりの話も少しだけ触れることにする。
２次のジョルダン標準形
２次のジョルダン標準形は次の三つのパターンがある。
\[\left(
\begin{array}{cc}
\lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_1
\end{array}
\right)，\left(
\begin{array}{cc}
\lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_2
\end{array}
\right)，\left(
\begin{array}{cc}
\lambda_1 & 1 \\
0 & \lambda_1
\end{array}
\right)\]
この中で、一つ目と二つ目は対角化可能な場合にあたる。今までにない、三つ目のパターンの解法をみていこう。
求め方
固有値が重解を持ち、独立な固有ベクトルが１本しかない場合の解法は次のようになる。
- 固有方程式\(|A-\lambda E|=0\)を解き、固有値\(\lambda=\lambda_1\)（重解）を求める
- \(\lambda=\lambda_1\)に対する固有ベクトル\(\boldsymbol{x}_1\)を求める
- 未知のベクトル\(\boldsymbol{x}_1^{\prime}\)を用いて、\((A-\lambda_1 E)\boldsymbol{x}_1^{\prime}=\boldsymbol{x}_1\)から\(\boldsymbol{x}_1^{\prime}\)を定める
- 変換行列\(P=(\boldsymbol{x}_1~~\boldsymbol{x}_1^{\prime})\)により\(J=P^{-1}AP\)となる
③について補足する。
\begin{cases}
(A-\lambda_1E)\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0} &⇔ A\boldsymbol{x}_1=\lambda_1\boldsymbol{x}_1 \\
(A-\lambda_1E)\boldsymbol{x}_1^{\prime}=\boldsymbol{x}_1 &⇔ A\boldsymbol{x}_1^{\prime}=\boldsymbol{x}_1+\lambda_1\boldsymbol{x}_1^{\prime}
\end{cases}
これより
\begin{align*}
A(\boldsymbol{x}_1~~\boldsymbol{x}_1^{\prime})&=(\lambda_1\boldsymbol{x}_1~~\boldsymbol{x}_1+\lambda_1\boldsymbol{x}_1^{\prime}) \\
&=(\boldsymbol{x}_1~~\boldsymbol{x}_1^{\prime})\left(
\begin{array}{cc}
\lambda_1 & 1 \\
0 & \lambda_1
\end{array}
\right)
\end{align*}
\(P=(\boldsymbol{x}_1~~\boldsymbol{x}_1^{\prime})\)とすれば
\[AP=P\left(
\begin{array}{cc}
\lambda_1 & 1 \\
0 & \lambda_1
\end{array}
\right)\]
となる。
ここで、\(P^{-1}\)が存在するなら\(\boldsymbol{x}_1\)と\(\boldsymbol{x}_1^{\prime}\)が一次独立であることを示す。
$$c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_1^{\prime}=\boldsymbol{0}$$
両辺に左から\(A-\lambda_1E\)をかけると
\begin{align*}
c_1(A-\lambda_1E)\boldsymbol{x}_1+c_2(A-\lambda_1E)\boldsymbol{x}_1^{\prime}&=\boldsymbol{0} \\
c_2(A-\lambda_1E)\boldsymbol{x}_1^{\prime}&=\boldsymbol{0} \\
c_2\boldsymbol{x}_1&=\boldsymbol{0}
\end{align*}
\(\boldsymbol{x}_1\not=\boldsymbol{0}\)より\(c_2=0\)である。さらに\(c_1\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0}\)より\(c_1=0\)である。
最終的に、ジョルダン標準形は
\[P^{-1}AP=\left(
\begin{array}{cc}
\lambda_1 & 1 \\
0 & \lambda_1
\end{array}
\right)\]
となる。
演習問題
具体的な計算の流れを確認しよう。
次の行列\(A\)のジョルダン標準形を求めよ。
\[
A=\left(
\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
-1 & 1
\end{array}
\right)
\]
(解)
\(A\)の固有方程式
\begin{align*}
|A-\lambda E|&=\left|\begin{array}{cc}
3-\lambda & 1 \\
-1 & 1-\lambda
\end{array}\right| \\
&=(3-\lambda)(1-\lambda)+1 \\
&=\lambda^2-4\lambda+4 \\
&=(\lambda-2)^2=0
\end{align*}
から、固有値は\(\lambda_1=2\)（重解）である。固有ベクトル\(\boldsymbol{x}_1\)は
\[
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & -1
\end{array}
\right)\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0}
\]
より
\[
\boldsymbol{x}_1=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array}
\right)
\]
となる。次に、ベクトル\(\boldsymbol{x}_1^{\prime}\)について
\[
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & -1
\end{array}
\right)\boldsymbol{x}_1^{\prime}=\boldsymbol{x}_1
\]
から
\[
\boldsymbol{x}_1=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array}
\right)
\]
となる。よって
\[
P=(\boldsymbol{x}_1~~\boldsymbol{x}_1^{\prime})=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}
\right)
\]
とすると
\[
P^{-1}AP=\left(
\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
0 & 2
\end{array}
\right)
\]
対角化の計算と似ていることがわかる。
３次のジョルダン標準形
３次のジョルダン標準形は次の五つのパターンがある。
\[\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_1
\end{array}
\right)，\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_2
\end{array}
\right)，\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_3
\end{array}
\right)
\]
\[\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 1 & 0 \\
0 & \lambda_1 & 1 \\
0 & 0 & \lambda_1
\end{array}
\right)，\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 1 & 0 \\
0 & \lambda_1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_2
\end{array}
\right)
\]
上段は対角化可能な場合、下段が新しいパターンにあたる。
求め方
固有値が3重解を持ち、独立な固有ベクトルが１本しかない場合の解法は次のようになる。
- 固有方程式\(|A-\lambda E|=0\)を解き、固有値\(\lambda=\lambda_1\)（3重解）を求める
- \(\lambda=\lambda_1\)に対する固有ベクトル\(\boldsymbol{x}_1\)を求める
- 未知のベクトル\(\boldsymbol{x}_1^{\prime}\)を用いて、\((A-\lambda_1 E)\boldsymbol{x}_1^{\prime}=\boldsymbol{x}_1\)から\(\boldsymbol{x}_1^{\prime}\)を定める
- 未知のベクトル\(\boldsymbol{x}_1^{\prime\prime}\)を用いて、\((A-\lambda_1 E)\boldsymbol{x}_1^{\prime\prime}=\boldsymbol{x}_1^{\prime}\)から\(\boldsymbol{x}_1^{\prime\prime}\)を定める
- 変換行列\(P=(\boldsymbol{x}_1~~\boldsymbol{x}_1^{\prime}~~\boldsymbol{x}_1^{\prime\prime})\)により\(J=P^{-1}AP\)となる
\begin{cases}
(A-\lambda_1E)\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0} &⇔ A\boldsymbol{x}_1=\lambda_1\boldsymbol{x}_1 \\
(A-\lambda_1E)\boldsymbol{x}_1^{\prime}=\boldsymbol{x}_1 &⇔ A\boldsymbol{x}_1^{\prime}=\boldsymbol{x}_1+\lambda_1\boldsymbol{x}_1^{\prime} \\
(A-\lambda_1E)\boldsymbol{x}_1^{\prime\prime}=\boldsymbol{x}_1^{\prime} &⇔ A\boldsymbol{x}_1^{\prime\prime}=\boldsymbol{x}_1^{\prime}+\lambda_1\boldsymbol{x}_1^{\prime\prime}
\end{cases}
から
\begin{align*}
A(\boldsymbol{x}_1~~\boldsymbol{x}_1^{\prime}~~\boldsymbol{x}_1^{\prime\prime})&=(\lambda_1\boldsymbol{x}_1~~\boldsymbol{x}_1+\lambda_1\boldsymbol{x}_1^{\prime}~~\boldsymbol{x}_1^{\prime}+\lambda_1\boldsymbol{x}_1^{\prime\prime}) \\
&=(\boldsymbol{x}_1~~\boldsymbol{x}_1^{\prime}~~\boldsymbol{x}_1^{\prime\prime})\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 1 & 0 \\
0 & \lambda_1 & 1 \\
0 & 0 & \lambda_1
\end{array}
\right)
\end{align*}
\(P=(\boldsymbol{x}_1~~\boldsymbol{x}_1^{\prime}~~\boldsymbol{x}_1^{\prime\prime})\)とすれば
\[AP=P\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 1 & 0 \\
0 & \lambda_1 & 1 \\
0 & 0 & \lambda_1
\end{array}
\right)\]
となる。
ここで、\(P^{-1}\)が存在するなら\(\boldsymbol{x}_1\)，\(\boldsymbol{x}_1^{\prime}，\boldsymbol{x}_1^{\prime\prime}\)が一次独立であること確認する。
$$c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_1^{\prime}+c_3\boldsymbol{x}_1^{\prime\prime}=\boldsymbol{0}$$
両辺に左から\(A-\lambda_1E\)をかけると
\begin{align*}
c_1(A-\lambda_1E)\boldsymbol{x}_1+c_2(A-\lambda_1E)\boldsymbol{x}_1^{\prime}+c_3(A-\lambda_1E)\boldsymbol{x}_1^{\prime\prime}&=\boldsymbol{0} \\
∴c_2\boldsymbol{x}_1+c_3\boldsymbol{x}_1^{\prime}&=\boldsymbol{0}
\end{align*}
もう一度左から\(A-\lambda_1E\)をかけると
\begin{align*}
c_2(A-\lambda_1E)\boldsymbol{x}_1+c_3(A-\lambda_1E)\boldsymbol{x}_1^{\prime}&=\boldsymbol{0} \\
∴c_3\boldsymbol{x}_1&=\boldsymbol{0}
\end{align*}
よって\(c_3=0\)であり、\(c_2=0，c_1=0\)であることもわかる。
最終的に、ジョルダン標準形は
\[P^{-1}AP=\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 1 & 0 \\
0 & \lambda_1 & 1 \\
0 & 0 & \lambda_1
\end{array}
\right)\]
となる。
また固有値が重解\(\lambda_1\)を持ち、\(A-\lambda_1E\)の自由度が1である場合の解法は次のようになる。
- 固有方程式\(|A-\lambda E|=0\)を解き、固有値\(\lambda=\lambda_1（重解），\lambda_2\)を求める
- \(\lambda=\lambda_1\)に対する固有ベクトル\(\boldsymbol{x}_1\)を求める
- 未知のベクトル\(\boldsymbol{x}_1^{\prime}\)を用いて、\((A-\lambda_1 E)\boldsymbol{x}_1^{\prime}=\boldsymbol{x}_1\)から\(\boldsymbol{x}_1^{\prime}\)を定める
- \(\lambda=\lambda_2\)に対する固有ベクトル\(\boldsymbol{x}_2\)を求める
- 変換行列\(P=(\boldsymbol{x}_1~~\boldsymbol{x}_1^{\prime}~~\boldsymbol{x}_2)\)により\(J=P^{-1}AP\)となる
自由度が2であれば対角化することができる。
詳細は省略する。
もう少し次元が大きい場合・・・
4次以上になると、最小多項式の重複度を考えてジョルダン標準形を判断する必要が出てくる。
ジョルダン標準形を求める場合の手順は次のようになる。
- 固有方程式を解き、固有値と重複度を求める
- 各固有値に対する固有空間の次元を求める
- 固有空間の次元の和が正方行列のサイズと同じであれば、対角化できる。
- そうでない場合、固有空間の次元がジョルダン細胞の数に等しい。また最小多項式を求め、その重複度が対応するジョルダン細胞のサイズの最大値になる
- ジョルダン細胞を対角に並べて\(J\)を決定する
または、ジョルダン細胞\(J(\lambda,n)\)の数は次の式で求めることもできる。
$$\mathrm{rank}(A-\lambda E)^{n+1}-2\mathrm{rank}(A-\lambda E)^{n}+\mathrm{rank}(A-\lambda E)^{n-1}$$
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