実対称行列の性質と直交行列による対角化

前回の記事では、一般の行列の対角化の条件や計算手順を学んだ。

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線形代数学

ここでは、実対称行列に着目して、その性質および対角化について解説する。

 

実対称行列とは

成分がすべて実数である対称行列実対称行列という。

$$\overline{A}=A(実行列) かつ A^T=A(対称行列)$$

各成分の複素共役をとり、かつ転置しても元の行列に等しい行列である。

 

例えば

\[A=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -2 \\
-1 & 2 & 3 \\
-2 & 3 & 4
\end{array}
\right),B=\left(
\begin{array}{ccc}
i & 1 & 2+i \\
1 & 1 & 0 \\
2+i & 0 & -i
\end{array}
\right)\]

とする。行列\(A\)は実対称行列、行列\(B\)は対称行列ではあるが実行列ではない。

 

実対称行列の性質

実対称行列は次のような興味深い性質がある。

固有値は実数

実対称行列の固有値はすべて実数である。

 

(証明)

実対称行列\(A\)の固有値を\(\lambda\)、固有ベクトルを\(\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\ \vdots\\ x_n \end{array}\right)\)とする。

固有ベクトルの複素共役を\(\overline{\boldsymbol{x}}=\left(\begin{array}{c}\overline{x_1}\\ \vdots\\ \overline{x_n} \end{array}\right)\)とかくことにすると

$$\overline{A\boldsymbol{x}}=A\overline{\boldsymbol{x}}=\overline{\lambda}\overline{\boldsymbol{x}}$$

が成立する。このとき

\begin{align*}
\lambda(\boldsymbol{x}・\overline{\boldsymbol{x}})&=(\lambda\boldsymbol{x})・\overline{\boldsymbol{x}}=(A\boldsymbol{x})・\overline{\boldsymbol{x}}=(A\boldsymbol{x})^T\overline{\boldsymbol{x}} \\
&=\boldsymbol{x}^TA^T\overline{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}^T(A\overline{\boldsymbol{x}})=\boldsymbol{x}^T(\overline{\lambda}\overline{\boldsymbol{x}})=\boldsymbol{x}・(\overline{\lambda}\overline{\boldsymbol{x}}) \\
&=\overline{\lambda}(\boldsymbol{x}・\overline{\boldsymbol{x}})
\end{align*}

$$∴(\lambda-\overline{\lambda})(\boldsymbol{x}・\overline{\boldsymbol{x}})=0$$

ここで、\(\boldsymbol{x}\not=\boldsymbol{0}\)なので

\begin{align*}
\boldsymbol{x}・\overline{\boldsymbol{x}}&=x_1\overline{x_1}+\cdots+x_n\overline{x_n} \\
&=|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2\not=0
\end{align*}

したがって、\(\lambda=\overline{\lambda}\)である。

(証明終)

固有ベクトルが直交

実対称行列の異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する。

 

(証明)

実対称行列\(A\)の異なる固有値\(\lambda_1,\lambda_2\)に対する固有ベクトルを\(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2\)とする。

\[\begin{cases}
A\boldsymbol{x}_1=\lambda_1\boldsymbol{x}_1 \\
A\boldsymbol{x}_2=\lambda_2\boldsymbol{x}_2
\end{cases}~~(\lambda_1\not=\lambda_2)\]

先ほどの式展開を参考にして

\begin{align*}
\lambda_1(\boldsymbol{x}_1・\boldsymbol{x}_2)&=(\lambda_1\boldsymbol{x}_1)・\boldsymbol{x}_2=(A\boldsymbol{x}_1)・\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{x}_1・(A^T\boldsymbol{x}_2) \\
&=\boldsymbol{x}_1・(A\boldsymbol{x}_2)=\boldsymbol{x}_1・(\lambda_2\boldsymbol{x}_2) \\
&=\lambda_2(\boldsymbol{x}_1・\boldsymbol{x}_2)
\end{align*}

$$∴(\lambda_1-\lambda_2)(\boldsymbol{x}_1・\boldsymbol{x}_2)=0$$

ここで\(\lambda_1\not=\lambda_2\)なので、\(\boldsymbol{x}_1・\boldsymbol{x}_2=0\)が成り立つ。

(証明終)

直交行列により対角化可能

実対称行列は直交行列を用いて対角化可能である。

 

固有値がすべて異なる場合については次のように簡単に示すことができる。

(証明)

\(n\)次実対称行列\(A\)の\(n\)個の異なる固有値および固有ベクトルを\(\lambda_i,\boldsymbol{x}_i~(I=1,2,\cdots,n)\)とすると

$$A\boldsymbol{x}_1=\lambda_1\boldsymbol{x}_1,A\boldsymbol{x}_2=\lambda_2\boldsymbol{x}_2,\cdots,A\boldsymbol{x}_n=\lambda_n\boldsymbol{x}_n$$

これより

\begin{align*}
A(\boldsymbol{x}_1~\boldsymbol{x}_2~\cdots~\boldsymbol{x}_n)&=(\lambda_1\boldsymbol{x}_1~\lambda_2\boldsymbol{x}_2~\cdots~\lambda_n\boldsymbol{x}_n) \\
&=(\boldsymbol{x}_1~\boldsymbol{x}_2~\cdots~\boldsymbol{x}_n)\left(
\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & \lambda_n
\end{array}
\right)
\end{align*}

ここで、\(A\)は実対称行列なので\(\boldsymbol{x}_i\perp\boldsymbol{x}_j~(i\not=j)\)である。

よって、\(\|\boldsymbol{x}_i\|=1\)となるようにとれば、\((\boldsymbol{x}_1~\boldsymbol{x}_2~\cdots~\boldsymbol{x}_n)=U:直交行列\)となる。

したがって

$$AU=U\left(
\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & \lambda_n
\end{array}
\right) \to U^{-1}AU=\left(
\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & \lambda_n
\end{array}
\right)$$

(証明終)

 

実対称行列の固有方程式が重解を持つ場合でも、一次独立な固有ベクトルは\(n\)本とることができ、対角化は可能である。

この場合は固有ベクトルが直交するとは限らないが、グラム・シュミットの直交化法を用いて正規直交化すれば直交行列とすることができる。

 

演習問題

実対称行列の対角化問題を解いてみよう。

つぎの実対称行列\(A\)を直交行列を用いて対角化せよ。

\[A=\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 &0 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right)\]

 

(解)

行列\(A\)の固有多項式\(\phi_A(\lambda)=|A-\lambda E|\)を求める。

\begin{align*}
\phi_A(\lambda)&=\left|
\begin{array}{ccc}
-\lambda & 1 & 0 \\
1 & -\lambda & 0 \\
0 & 0 & 2-\lambda
\end{array}
\right| \\
&=(2-\lambda)\left|
\begin{array}{cc}
-\lambda & 1 \\
1 & -\lambda
\end{array}
\right| \\
&=-(\lambda-2)(\lambda^2-1)=-(\lambda-2)(\lambda+1)(\lambda-1)
\end{align*}

よって固有値は\(-1,1,2\)である。これらに対する単位固有ベクトルは、それぞれ

\begin{align*}
\boldsymbol{x}_1=\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt2} \\
\frac{1}{\sqrt2} \\
0
\end{array}
\right),\boldsymbol{x}_2=\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt2} \\
-\frac{1}{\sqrt2} \\
0
\end{array}
\right),\boldsymbol{x}_3=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1
\end{array}
\right)
\end{align*}

となるので、\(P=(\boldsymbol{x}_1~\boldsymbol{x}_2~\boldsymbol{x}_3)\)は直交行列であり

\[P^{-1}AP=\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right)\]

と対角化される。

 

 

計算はかなり省略した。

なお、実対称行列の対角化において変換行列\(P\)が直交行列となるようにとれば

$$P^{-1}=P^T$$

の関係を用いて、逆行列を簡単に得ることができる。

 

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