行列の指数関数の定義と計算例

線形代数学 $線形代数学$

行列の対角化およびn乗の計算を学んできたが、これらと関わりのある行列演算をもう一つ紹介しておく。

それは行列の指数関数と呼ばれるものである。

行列の指数関数は、通常の指数関数を行列に拡張したもので、微分方程式の解法にも用いることができる。

ここでは、行列の指数関数の定義と性質、そして具体的な求め方を紹介する。

1 行列の指数関数の定義
2 性質
3 演習問題

行列の指数関数の定義

$n$次正方行列$A$に対し、$e^A$を次式で定義する。

$$e^A=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}=E_n+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots$$

ただし、$A^0=E$とする。また、$e^A$は$\mathrm{exp}A$ともかく。

この無限級数は任意の$A$に対して収束することが知られている。

この定義を見て気付くかもしれないが、$e^x$のマクローリン展開式と同じ形式になっている。

性質

行列の指数関数は次のような性質をもつ。

$$e^{P^{-1}AP}=P^{-1}e^AP$$

(証明)

$(P^{-1}AP)^k=P^{-1}A^kP$なので

\begin{align*}
e^{P^{-1}AP}&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(P^{-1}AP)^k}{k!} \\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{P^{-1}A^kP}{k!} \\
&=P^{-1}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}\right)P \\
&=P^{-1}e^AP
\end{align*}

(証明終)

対角行列の指数関数は次のようになる。

対角行列$D=\left(
\begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array}
\right)$に対して、$e^D=\left(
\begin{array}{cc}
e^a & 0 \\
0 & e^b
\end{array}
\right)$となる。

(証明)

対角行列について

$$D^k=\left(
\begin{array}{cc}
a^k & 0 \\
0 & b^k
\end{array}
\right)$$

が成り立つ。

\begin{align*}
e^D&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{D^k}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(
\begin{array}{cc}
a^k & 0 \\
0 & b^k
\end{array}
\right) \\
&=\left(
\begin{array}{cc}
\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^k}{k!} & 0 \\
0 & \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{b^k}{k!}
\end{array}
\right) \\
&=\left(
\begin{array}{cc}
e^a & 0 \\
0 & e^b
\end{array}
\right)
\end{align*}

(証明終)

この性質を利用すると、対角化可能な行列の指数関数を求めることができる。後で例を示す。

行列の指数関数の微分について、次の関係がある。

$$\frac{d}{dx}e^{xA}=Ae^{xA}$$

(証明)

\begin{align*}
\frac{d}{dx}e^{xA}&=\frac{d}{dx}\left(E_n+xA+\frac{x^2A^2}{2!}+\frac{x^3A^3}{3!}+\cdots\right) \\
&=A+\frac{2xA^2}{2!}+\frac{3x^2A^3}{3!}+\cdots \\
&=A\left(E_n+xA+\frac{x^2A^2}{2!}+\cdots\right) \\
&=Ae^{xA}
\end{align*}

(証明終)

通常の指数関数の微分のように計算することができる。

演習問題

それでは、行列の指数関数を計算してみよう。

次の行列$A$の$e^A$を求めよ。

\[
A=\left(
\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
-7 & -5
\end{array}
\right)
\]

計算の手順は以下の通り。

固有値、固有ベクトルを求める
変換行列および対角行列をつくる
行列の指数関数をとる

(解)

$A$の固有方程式は

\begin{align*}
|A-\lambda E|&=\left|\begin{array}{cc}
3-\lambda & 1 \\
-7 & -5-\lambda
\end{array}\right| \\
&=\lambda^2+2\lambda-8 \\
&=(\lambda+4)(\lambda-2)=0
\end{align*}

固有値は$\lambda=-4,2$である。

$\lambda_1=-4$に対する固有ベクトル$\boldsymbol{x}_1$は

\[
\left(
\begin{array}{cc}
7 & 1 \\
-7 & -1
\end{array}
\right)\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0}
\]

より

\[
\boldsymbol{x}_1=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-7
\end{array}
\right)
\]

$\lambda_2=2$に対する固有ベクトル$\boldsymbol{x}_2$は

\[
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-7 & -7
\end{array}
\right)\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0}
\]

より

\[
\boldsymbol{x}_2=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array}
\right)
\]

したがって、変換行列$P$およびその逆行列は

\[
P=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-7 & -1
\end{array}
\right)，P^{-1}=\frac{1}{6}\left(
\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
7 & 1
\end{array}
\right)
\]

となる。

行列の指数関数の関係式から

$$P^{-1}e^AP=e^{P^{-1}AP}=\mathrm{exp}\left[\left(
\begin{array}{cc}
-4 & 0 \\
0 & 2
\end{array}
\right)\right]$$

したがって

\begin{align*}
e^A&=P\mathrm{exp}\left[\left(
\begin{array}{cc}
-4 & 0 \\
0 & 2
\end{array}
\right)\right]P^{-1} \\
&=\frac{1}{6}\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-7 & -1
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc}
e^{-4} & 0 \\
0 & e^2
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
7 & 1
\end{array}
\right) \\
&=\frac{1}{6}\left(
\begin{array}{cc}
-e^{-4}+7e^2 & -e^{-4}+e^2 \\
7e^{-4}-7e^2 & 7e^{-4}-e^2
\end{array}
\right)
\end{align*}