対角化│新米夫婦のふたりごと

二次曲線の標準形と分類

２次形式の標準化を利用すると、二次曲線を明快に取り扱うことができるようになる。この記事では、二次曲線の分類や標準形への変形、図形的意味などについて学んでいく。２次形式の標準化について復習したい方は以下のリンクへ。二次曲線とは方程式 $$ax^2+2bxy+cy^2+px+qy+ […]

対称行列の対角化の応用例のひとつとして、２次形式の行列表示および標準化について学ぶ。２次形式の標準形を求めると、少し複雑な二次曲線が描けるほか、行列の符号の判定が簡単にできるようになる。２次形式とは２次形式とは、二次の項のみからなる多項式のことをいう。たとえば $$q(x_1, […]

行列の対角化およびn乗の計算を学んできたが、これらと関わりのある行列演算をもう一つ紹介しておく。それは行列の指数関数と呼ばれるものである。行列の指数関数は、通常の指数関数を行列に拡張したもので、微分方程式の解法にも用いることができる。ここでは、行列の指数関数の定義と性質、そして具 […]

前回の記事では、一般の行列の対角化の条件や計算手順を学んだ。ここでは、実対称行列に着目して、その性質および対角化について解説する。実対称行列とは成分がすべて実数である対称行列を実対称行列という。 $$\overline{A}=A（実行列）　かつ　A^T=A（対称行列）$$ 各成分 […]

行列の対角化の応用例として、n乗の計算がある。ここでは、3×3行列の対角化によるn乗計算の例題を紹介する。課題や試験で問われることも多いので、ご参考まで。復習行列の固有値・固有ベクトルおよび対角化に関する知識が必要になる。これらの項目について復習したい方は、以下の記事を参照の […]

前回は行列の固有値と固有ベクトルの求め方を学んだ。ここでは、この応用として重要な行列の対角化を紹介する。線形代数では、行列の対角化は必ず学ぶ内容である。対角行列は取り扱いがしやすいという利点があり、例えば行列のn乗の計算などに利用することができる。行列の対角化とは […]