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対角化

二次曲線の標準形と分類

2次形式の標準化を利用すると、二次曲線を明快に取り扱うことができるようになる。 この記事では、二次曲線の分類や標準形への変形、図形的意味などについて学んでいく。 2次形式の標準化について復習したい方は以下のリンクへ。   二次曲線とは 方程式 $$ax^2+2bxy+cy^2+px+qy+ […]

2次形式の標準化

対称行列の対角化の応用例のひとつとして、2次形式の行列表示および標準化について学ぶ。 2次形式の標準形を求めると、少し複雑な二次曲線が描けるほか、行列の符号の判定が簡単にできるようになる。   2次形式とは 2次形式とは、二次の項のみからなる多項式のことをいう。 たとえば $$q(x_1, […]

行列の指数関数の定義と計算例

行列の対角化およびn乗の計算を学んできたが、これらと関わりのある行列演算をもう一つ紹介しておく。 それは行列の指数関数と呼ばれるものである。   行列の指数関数は、通常の指数関数を行列に拡張したもので、微分方程式の解法にも用いることができる。 ここでは、行列の指数関数の定義と性質、そして具 […]

実対称行列の性質と直交行列による対角化

前回の記事では、一般の行列の対角化の条件や計算手順を学んだ。 ここでは、実対称行列に着目して、その性質および対角化について解説する。   実対称行列とは 成分がすべて実数である対称行列を実対称行列という。 $$\overline{A}=A(実行列) かつ A^T=A(対称行列)$$ 各成分 […]

対角化による3次正方行列のn乗の計算例

行列の対角化の応用例として、n乗の計算がある。 ここでは、3×3行列の対角化によるn乗計算の例題を紹介する。 課題や試験で問われることも多いので、ご参考まで。   復習 行列の固有値・固有ベクトルおよび対角化に関する知識が必要になる。 これらの項目について復習したい方は、以下の記事を参照の […]

行列の対角化の手順と計算例

前回は行列の固有値と固有ベクトルの求め方を学んだ。 ここでは、この応用として重要な行列の対角化を紹介する。   線形代数では、行列の対角化は必ず学ぶ内容である。 対角行列は取り扱いがしやすいという利点があり、例えば行列のn乗の計算などに利用することができる。   行列の対角化とは […]