微分

複素数の基礎～複素平面と極形式・複素数値関数の微積分【理工数学】

微分方程式を解く上で、複素数(complex number)を用いる場面も多くあります。なのでここで複素数の基礎について学んでおきましょう。 前回までの記事：1階線形微分方程式、2階線形微分方程式 複素数の基礎 $$二つの実数x, yに対して、z=x+iyと表される数zを複素数と呼ぶ$$ $$ここで […]

曲率と曲率半径の求め方

前回は空間曲線をベクトルによって表記することを学びました。 この記事では、曲線の特徴量である曲率と曲率半径について学習していきます。 曲率とはなにか 日常生活ではあまり聞きなれない言葉かもしれませんが、私たちの生活の中で曲率(または曲率半径)は多く活用されています。 たとえば、道路のカーブやジェット […]

曲線の数学①空間曲線のベクトル表示とベクトルの微分、物理的意味合いについて【理工数学】

今回から数回にわたって、曲線についての学習をしていきます。 第一回のこの記事では、まず空間中の曲線をベクトルによって表示し、その微分の定義と意味合い、ベクトルの微分公式について書いていきます。 空間曲線の表し方 $$閉区間[\alpha ,\beta]上の連続関数x=x(t), y=y(t), z= […]

ロピタルの定理の証明と例題、使うときの注意点

前回の記事では、不定形の極限とコーシーの平均値の定理について学習しました。 今回は、不定形の極限を簡単に求める方法「ロピタルの定理(l’Hôpital’s rule)」の証明と例題を用いた使い方、注意点について学んでいきます。 ロピタルの定理 先に、ロピタルの定理を述べておき […]

不定形の極限①コーシーの平均値の定理の証明【理工数学】

高校数学の範囲で極限を計算しようとすると、0/0などの形になってしまいうまく計算できないことがありました。こういう場合には、式変形などを駆使し工夫して計算する必要がありますが、慣れるまでは結構難しいと思います。(例えば、sinx/xの極限値 ～はさみうちの原理による計算方法を解説【理工数学】) 実は […]

ロルの定理とラグランジュの平均値定理の証明

今回は、微分で登場する「平均値の定理」について学習していきます。 「微分の計算はよくわかったけど、平均値の定理って意味合いがよくわからないなあ」「これ何に使うの？」と思う人も少なくないと思います。そこでこの記事では、平均値の定理の意味合いとその証明をしていきます。   なお、ここでいう平均 […]

ライプニッツの公式の証明と計算例

ふたつの関数の積の導関数を計算したいときに便利なアイテムとして、ライプニッツの公式(ライプニッツ則)があります。 高校数学では、微分の公式として次のような積の法則 $$(f・g)’=f’・g+f・g’$$ を習ったと思います。今回は、これをn階微分に拡張した形を紹 […]