演習問題

行列の対角化の手順と計算例

前回は行列の固有値と固有ベクトルの求め方を学んだ。 ここでは、この応用として重要な行列の対角化を紹介する。   線形代数では、行列の対角化は必ず学ぶ内容である。 対角行列は取り扱いがしやすいという利点があり、例えば行列のn乗の計算などに利用することができる。   行列の対角化とは […]

非線形計画法の例題（制約つき・パラメータを含む問題）

前回の記事で、制約条件付き非線形計画問題の解法を紹介した。 ここでは具体的な非線形問題を解きながら理解を深めていきたい。   演習問題① 次の非線形計画問題を解け。 \[\begin{align*} \mathrm{Minimize}　　& (x_1-1)^2+(x_2-2)^2 […]

罰金法によるシンプレックス計算の例題

前回の記事でシンプレックス法について解説した。 この中で、等式や不等号が逆向きの場合の制約条件の取り扱いとして罰金法を紹介した。   この記事では、罰金法によるシンプレックス法の問題の解き方を紹介する。   シンプレックス法の手順は以下の通りである。 STEP1　目的変数(ここで […]

内積の定義と正値性・対称性・線形性について

内積の復習 二つの平面ベクトル\(\boldsymbol{a}，\boldsymbol{b}\)があるとき、これらの内積は次式で与えられることを高校数学で学んだ。 $$\boldsymbol{a}・\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos […]

コーシー・リーマンの関係式の例題３問

コーシー・リーマンの関係式については以下の記事をご参照ください。 複素関数の微分可能性とコーシー・リーマンの関係式   以下の複素関数f(z)が微分可能であるか判別せよ。微分可能である場合、微分可能な領域も述べよ。 複素関数は、コーシー・リーマンの関係式を満たす点で微分可能であることを利用 […]

容器内の流体がすべて流出するまでにかかる時間の計算

底面積Fの直方体の容器に液体が入っており、容器の底には面積fの孔があいている。 t=0で液面の高さがH0であるとすると、容器内の液体がすべて流出するのに必要な時間を求めよ。ただし、縮流効果は無視する。   (解) ベルヌーイの式(非定常・非圧縮)を用いる。 $$\frac{1}{2}U^2 […]

回転流体の圧力勾配と自由表面形状

流体がある軸の周りを定常的に回転しているとする。このとき、半径方向の圧力勾配を求めよ。 また、角速度が一定であるときの自由表面はどのような形になるか。   (解) 極座標でのオイラーの運動方程式(半径方向)は次式で表される。 $$\frac{\partial C_r}{\partial t […]