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線形代数学

固有値・固有ベクトルの定義と求め方

行列のもつ重要な特徴量である、固有値・固有ベクトルについて解説する。 固有値・固有ベクトルの概念はあらゆる分野で登場する。 特に、この後で学ぶ「行列の対角化」においては欠かせないので、計算方法も含めてしっかり理解しておこう。   固有値と固有ベクトルの定義 まず、固有値と固有ベクトルの定義 […]

直交行列の定義とその性質

ここでは、直交行列の定義と性質を学ぶ。 後ほど実対称行列の対角化や2次形式の標準化でも登場するので、その性質を理解しておこう。 直交行列の定義 直交行列の定義自体はかなりシンプルである。 \(n\)次正方行列\(P\)が $$P^TP=E_n$$ を満たすとき、\(P\)を直交行列という。 ここで、 […]

行列のランクの求め方と性質

これまでの記事で、ベクトルの一次独立や行列の基本変形、連立方程式の解法について学んできた。 今回は、行列の基本的な特徴量のひとつであるランクについて学ぶ。   行列のランク(行列の階数とも)は、逆行列の存在や連立方程式の解の性質などとも関係が深く、重要な量である。 行列のランクの計算方法と […]

掃き出し法(ガウスの消去法)による連立方程式の解法と逆行列の求め方

連立方程式の解法には、クラメルの公式より実用的な掃き出し法(ガウス・ジョルダンの消去法とも)を用いることが多い。 ここでは、掃き出し法を用いて連立方程式を解く方法、および逆行列を求める方法を解説する。   行列の基本変形について復習し、拡大係数行列の基本変形により解を導く流れを例題を解きな […]

クラメルの公式による連立1次方程式の解法

行列を用いて連立1次方程式を解く方法を考える。 ここでは、クラメルの公式を紹介する。計算量が多いため実用性は高くないが、簡潔で美しい公式なので知っておいて損はない。 より実用的な解法としては、ガウスの消去法(掃き出し法)を別の記事で紹介する。   余因子行列と逆行列 まず、余因子行列により […]

グラム・シュミットの直交化法と正規直交基底

グラム・シュミットの直交化法とは、一次独立なベクトルの組から直交基底ベクトルを機械的につくる手法である。 この記事では、まず正規直交基底について述べ、グラム・シュミットの直交化法を解説する。 さらにグラム・シュミットの直交化法を用いて具体的に正規直交基底の計算をしてみる。   正規直交基底 […]

余因子展開と行列の基本変形による行列式の計算方法

余因子と余因子行列については以前の記事で学んだ。 ややこしい計算をしてまで余因子を計算したのは、行列式や逆行列を求めるときに利用できるからである。   ここでは余因子を用いて行列式を求める方法を説明し、例を用いて具体的に計算してみる。 さらに、行列の基本変形と行列式の値の関係を利用して計算 […]

余因子の計算と余因子行列の作り方

この記事では、余因子の求め方と余因子行列の作り方を解説する。   余因子行列は行列式や逆行列を計算する際に用いられる行列である。 3次正方行列であればサラスの公式を用いることで行列式を計算することができるが、4次以上の一般の行列に対してはこのような方法は存在しない。 余因子を使うことで、行 […]

サラスの公式による行列式の計算方法

正方行列について定義される行列式は逆行列を求める場合などに用いられる重要な量である。 2次の行列であればその行列式は容易に計算することができるが、3次以上になると計算量が多く複雑になってしまう。   ここでは、3次正方行列の行列式の求め方を簡単に覚える方法である「サラスの公式」(サラスの方 […]

行列のn乗の計算方法ー4つのパターン

一般に行列の積は計算が煩雑であり、行列の累乗を求めるためには非常に労力がかかってしまう。 しかし、行列が特定の形状をしている場合は比較的簡単に計算することができる。 ここでは、2次正方行列についてn乗計算の4つのパターンを紹介する。 次数が下げられる場合のn乗 \(A^2=kA\)の関係があるとき、 […]