この記事では、余因子の求め方と余因子行列の作り方を解説する。
余因子行列は行列式や逆行列を計算する際に用いられる行列である。
３次正方行列であればサラスの公式を用いることで行列式を計算することができるが、４次以上の一般の行列に対してはこのような方法は存在しない。
余因子を使うことで、行列の次数を下げて計算していく。ここで学ぶ内容はその準備である。
余因子
\(n\)次正方行列のひとつの成分に注目し、「その成分を含む行と列を取り去ってつくられる\((n-1)\)次正方行列の行列式に正または負の符号を乗じたもの」を余因子と呼ぶ。
定義は以下の通り。
\(n\)次正方行列
\[
A = \left(
\begin{array}{ccccccc}
a_{11} & \ldots & a_{1(j-1)} & a_{1j} & a_{1(j+1)} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{(i-1)1} & \ldots & a_{(i-1)(j-1)} & a_{(i-1)j} & a_{(i-1)(j+1)} & \ldots & a_{(i-1)n} \\
a_{i1} & \ldots & a_{i(j-1)} & a_{ij} & a_{i(j+1)} & \ldots & a_{in} \\
a_{(i+1)1} & \ldots & a_{(i+1)(j-1)} & a_{(i+1)j} & a_{(i+1)(j+1)} & \ldots & a_{(i+1)n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \ldots & a_{n(j-1)} & a_{nj} & a_{n(j+1)} & \ldots & a_{nn}
\end{array}
\right)
\]
に対し、\(A\)の\((i,j)\)余因子\(A_{ij}\)は
\[
A_{ij} = (-1)^{i+j} \left|
\begin{array}{cccccc}
a_{11} & \ldots & a_{1(j-1)} & a_{1(j+1)} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{(i-1)1} & \ldots & a_{(i-1)(j-1)} & a_{(i-1)(j+1)} & \ldots & a_{(i-1)n} \\
a_{(i+1)1} & \ldots & a_{(i+1)(j-1)} & a_{(i+1)(j+1)} & \ldots & a_{(i+1)n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \ldots & a_{n(j-1)} & a_{n(j+1)} & \ldots & a_{nn}
\end{array}
\right|
\]
で与えられる。
例えば、次の行列\(A\)の余因子は次のように与えられる。
\[
A = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{array}
\right)
\]
\[
A_{ij} = \left(
\begin{array}{ccc}
-3 & 6 & -3 \\
6 & -12 & 6 \\
-3 & 6 & -3
\end{array}
\right)
\]
- 計算の詳細はこちら
- \[\begin{align*}
A_{11} &= (-1)^{1+1} \left|
\begin{array}{cc}
5 & 6 \\
8 & 9
\end{array}
\right| \\ &= (5\times9-6\times8)=-3
\end{align*}\]\[\begin{align*}
A_{12} &= (-1)^{1+2} \left|
\begin{array}{cc}
4 & 6 \\
7 & 9
\end{array}
\right| \\ &= -(4\times9-6\times7)=6
\end{align*}\]\[\begin{align*}
A_{13} &= (-1)^{1+3} \left|
\begin{array}{cc}
4 & 5 \\
7 & 8
\end{array}
\right| \\ &= (4\times8-5\times7)=-3
\end{align*}\]\[\begin{align*}
A_{21} &= (-1)^{2+1} \left|
\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
8 & 9
\end{array}
\right| \\ &= -(2\times9-3\times8)=6
\end{align*}\]\[\begin{align*}
A_{22} &= (-1)^{2+2} \left|
\begin{array}{cc}
1 & 3 \\
7 & 9
\end{array}
\right| \\ &= (1\times9-3\times7)=-12
\end{align*}\]\[\begin{align*}
A_{23} &= (-1)^{2+3} \left|
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
7 & 8
\end{array}
\right| \\ &= -(1\times8-2\times7)=6
\end{align*}\]\[\begin{align*}
A_{31} &= (-1)^{3+1} \left|
\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
5 & 6
\end{array}
\right| \\ &= (2\times6-3\times5)=-3
\end{align*}\]\[\begin{align*}
A_{32} &= (-1)^{3+2} \left|
\begin{array}{cc}
1 & 3 \\
4 & 6
\end{array}
\right| \\ &= -(1\times6-3\times4)=6
\end{align*}\]\[\begin{align*}
A_{33} &= (-1)^{3+3} \left|
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
4 & 5
\end{array}
\right| \\ &= (1\times5-2\times4)=-3
\end{align*}\]
余因子の符号について、小行列式に乗じる符号は\((-1)^{i+j}\)であることから、\(i+j\)が奇数か偶数かにより決まる。
余因子とる成分の場所ごとに符号を並べると、次のようになる。
\[
\left(
\begin{array}{cccc}
+ & – & + & \ldots \\
– & + & – & \ldots \\
+ & – & + & \ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{array}
\right)
\]
余因子行列
余因子\(A_{ij}\)を成分にもつ行列を転置してできる行列を余因子行列といい、\(\tilde{A}\)とかく。
上の例のように余因子を並べただけではなく、転置することに注意する。
例えば、以下の行列の余因子行列は次のようになる。
\[
A = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{array}
\right)
\]
\[
\tilde{A} = (A_{ij})^T = \left(
\begin{array}{ccc}
-3 & 6 & -3 \\
6 & -12 & 6 \\
-3 & 6 & -3
\end{array}
\right)
\]
余因子と余因子行列について、もう一つ計算例を示す。
余因子行列の例
次の行列の余因子行列を求めよ。
\[
A = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 2 \\
3 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4
\end{array}
\right)
\]
(解)
余因子を計算する。
\[
A_{11} = (-1)^2 \left|
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
3 & 4
\end{array}
\right| = 1，A_{12} = (-1)^3 \left|
\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
2 & 4
\end{array}
\right| = -10，A_{13} = (-1)^4 \left|
\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
2 & 3
\end{array}
\right| = 7
\]
\[
A_{21} = (-1)^3 \left|
\begin{array}{cc}
2 & 2 \\
3 & 4
\end{array}
\right| = -2，A_{22} = (-1)^4 \left|
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 4
\end{array}
\right| = 0，A_{23} = (-1)^5 \left|
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{array}
\right| = 1
\]
\[
A_{31} = (-1)^4 \left|
\begin{array}{cc}
2 & 2 \\
1 & 1
\end{array}
\right| = 0，A_{32} = (-1)^5 \left|
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 1
\end{array}
\right| = 5，A_{33} = (-1)^6 \left|
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 1
\end{array}
\right| = -5
\]
したがって
\[
\tilde{A} = (A_{ij})^T = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 0 \\
-10 & 0 & 5 \\
7 & 1 & -5
\end{array}
\right)
\]
となる。
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