コーシーの積分公式の証明と例題3問

複素関数の積分で重要なコーシーの積分公式を学ぶ。

コーシーの積分公式

複素関数\(f(z)\)は開集合\(K\)上で正則関数とする。\(C\)を\(K\)に含まれる滑らかな閉曲線とし、\(D\)を\(C\)の内部の領域、\(D^e\)を\(C\)の外部の領域とする。

このとき、次が成り立つ。

$$\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=f(z_0) (z_0\in D)$$

$$\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=0 (z_0\in D^e)$$

関数\(f(z)/(z-z_0)\)は、\(z=z_0\)以外の点で正則である。すなわち、点\(z_0\)を内部に含まない周回積分(下式)については、コーシーの積分定理が成り立っている。

 

上式を、コーシーの積分公式と呼び、正則でない領域を含む周回積分を計算することができる。

 

定理の証明

関数\(f(z)/(z-z_0)\)は\(z=z_0\)を含まない領域で積分可能である。

点\(z_0\)を含む半径\(\varepsilon\)の円を\(C’\)とすると、コーシーの積分定理より

$$\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=\oint_{C’}\frac{f(z)}{z-z_0}dz$$

が成り立つ。\(C’\)上の点は

$$z=z_0+\varepsilon e^{i\theta} (0\le\theta<2\pi)$$

と書けるので、

$$dz=i\varepsilon e^{i\theta}d\theta$$

である。よって

\[
\begin{align*}
\oint_C’\frac{f(z)}{z-z_0}dz & =\int_0^{2\pi}\frac{z_0+\varepsilon e^{i\theta}}{\varepsilon e^{i\theta}}i\varepsilon e^{i\theta}d\theta \\
& =i\int_0^{2\pi}f(z_0+\varepsilon e^{i\theta})d\theta
\end{align*}
\]

ここで、\(\varepsilon \to 0\)とすると、右辺は\(2\pi i・f(z_0)\)となる。したがって

$$\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=f(z_0)$$

(証明終)

 

コーシーの積分公式を使う計算例

$$(1) \oint_{|z-3|=1}\frac{dz}{z-3} を計算せよ$$

コーシーの積分公式より

$$\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-3|=1}\frac{dz}{z-3}=1$$

$$\oint_{|z-3|=1}\frac{dz}{z-3}=2\pi i$$

 

$$(2)\oint_{|z|=2}\frac{8}{(z-1)(z-3)} を計算せよ$$

$$\frac{8}{(z-1)(z-3)}=\frac{z+1}{z-3}-\frac{z+3}{z-1}$$

と変形する。

\(z=1\)は\(C\)の内部、\(z=3\)は\(C\)の外部にあるので、

\[
\begin{align*}
\oint_{|z|=2}\frac{8}{(z-1)(z-3)} & =\oint_{|z|=2}\frac{z+1}{z-3}dz-\oint_{|z|=2}\frac{z+3}{z-1}dz \\
& =0-2\pi i(1+3) \\
& =-8\pi i
\end{align*}
\]

 

$$(3)\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-2|=2}\frac{z\cos z}{z^2-\pi^2}dz を計算せよ$$

$$\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-2|=2}\frac{z\cos z}{z^2-\pi^2}dz=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-2|=2}\frac{z\cos z}{(z+\pi)(z-\pi)}dz$$

\(z=\pi\)は\(C:|z-2|=2\)の内部、\(z=-\pi\)は\(C\)の外部に存在する。

$$f(z)=\frac{z\cos z}{z+\pi}$$

とみれば、コーシーの積分公式より

$$(与式)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-\pi}dz=f(\pi)=\frac{\pi・(-1)}{2\pi}=-\frac{1}{2}$$
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