今回学ぶ微分方程式が、大学1回生で学ぶ最も難しいタイプのものになります。
これまでの微分方程式の復習はこちら⇒1階線形微分方程式、2階線形微分方程式
手順は長くなりますが、丁寧に計算していけば必ず解けるようになります。それではいきましょう。
定数係数2階線形微分方程式
最終目標は、
$$y^{\prime\prime}+py’+q=f(x)$$
の形の微分方程式を解くことです。しかし、このままでは解くことができません。
まずは、1階線形微分方程式を解くときと同じように、同次形の解を求めていきます。
特性方程式とは
\(y^{\prime\prime}+py’+q=0 (p,qは実定数)\)に対して
$$二次方程式：t^2+pt+q=0$$
を、特性方程式と呼ぶ。
導関数を文字に置き換えた二次方程式を特性方程式といいます。
この二次方程式の解によって、元の微分方程式の解の振る舞いが変わります。
\(y\)を複素数値関数\(y(x)=u(x)+iv(x)\)とすると、元の方程式の左辺は
$$(u^{\prime\prime}+pu’+qu)+i(v^{\prime\prime}+pv’+qv)$$
となるので、\(y(x)\)が解ならその実部・虚部ともに解です。
そこで、\(y=e^{\alpha x} (\alpha：複素数)\)とおくと
$$y^{\prime\prime}+py’+q=(\alpha ^2+p\alpha +q)e^{\alpha x}$$
となることから、次が成り立ちます。
定理：特性方程式と一般解
方程式\(y^{\prime\prime}+py’+q=0\)の一般解は次のようになる。
特性方程式が
\[
\begin{cases}
(1)&異なる2つの実数解\alpha, \betaをもつとき、 y=C_1e^{\alpha x}+C_2e^{\beta x} \\
(2)&重解\alpha (=-\frac{p}{2})をもつとき、 y=(C_1x+C_2)e^{\alpha x} \\
(3)&虚数解a\pm bi (b\not =0)をもつとき、 y=e^{\alpha x}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)
\end{cases}
\]
元の微分方程式\(y^{\prime\prime}+py’+q=f(x)\)の余関数(同次方程式の一般解のことです)は上の定理で与えられます。
したがって、一つの解(特殊解)が分かれば非同次方程式の一般解を得ることができます。
ここからは特殊解を求めていきます。
演算子法による特殊解の導出
以下、α,βは一般に複素数を表すものとします。
微分演算子法
特殊解を比較的簡便に求める方法です。この方法では、d/dxをDとかきます。
すなわち、Dを作用させることは1回微分することを表します。逆に1/Dを作用させることは1回積分することを表します。
\(D-\alpha\)は、微分可能な関数\(y\)に\(y’-\alpha y\)を対応させる演算子を表す。
積\((D-\alpha)(D-\beta)\)は、最初に\(D-\beta\)を、次に\(D-\alpha\)を作用させる演算である。
このとき、明らかに次式が成立する。
複素係数線形微分方程式：\((D-α)y=g\)の解\(y\)を、形式的に
$$y=(D-\alpha)^{-1}g=\frac{1}{D-\alpha}g$$
とかき、\((D-\alpha)^{-1}\)は関数\(g\)に上記の解を対応させる演算子を表すとする。このとき、
以上の性質を用いて、特殊解を求めます。
特性方程式\(\phi (t)=t^2+pt+q=0\)の2解を\(\alpha, \beta\)とおく。すると
α≠βのとき、複素解yは次のように表されます。
\begin{align*}
y&=\frac{1}{(D-\alpha)(D-\beta)}f \\
&=\frac{1}{\alpha -\beta}\left( \frac{1}{D-\alpha}-\frac{1}{D-\beta}\right)f \\
&=\frac{1}{\alpha -\beta}\left( e^{\alpha x} \int e^{-\alpha x}f(x)dx-e^{\beta x} \int e^{-\beta x}f(x)dx \right)
\end{align*}
\]
これは(D-α)(D-β)を作用させてみれば、解であることがわかります。
α=βのときは、
\begin{align*}
y&=\frac{1}{(D-\alpha)^2}f=\frac{1}{D-\alpha}\left( \frac{1}{D-\alpha}f \right) \\
&=e^{\alpha x}\int \left( \int e^{-\alpha x}f(x)dx \right)dx
\end{align*}
\]
特殊解の分類
\(f(x)\)が代表的な関数であるとき、特殊解\(y\)の形を調べてみましょう。
以下では、α,β≠0すなわちφ(0)≠0とします。
最初に、λ(≠0)を複素数として
$$\int e^{\lambda x}x^ndx=\frac{1}{\lambda}e^{\lambda x}x^n-\frac{n}{\lambda}\int e^{\lambda x}x^{n-1}dx$$
$$\int e^{\lambda x}P_n(x)dx=e^{\lambda x}×(複素係数n次多項式)$$
となることを述べておきます。以下、\(P_n, Q_n, R_n\)はn次多項式を表します。
$$y=Q_n(x)$$
・\(a\)≠α, βのとき、
$$y=e^{ax}Q_n(x)$$
・\(a\)=αのとき、
$$\alpha\not =\betaならば、y=e^{ax}Q_{n+1}(x)$$
$$\alpha =\betaならば、y=e^{ax}Q_{n+2}(x)$$
・\(a\)≠α, βのとき、
$$y=e^{ax}/\phi (a)$$
・\(a\)=αのとき、
$$\alpha\not =\betaならば、y=xe^{ax}/(\alpha-\beta)$$
$$\alpha =\betaならば、y=x^2e^{ax}/2$$
\(y^{\prime\prime}+py’+q=P_n(x)e^{ibx}\)を考える。
この特殊解として、(B)より
を得る。
\(P_n(x)e^{ibx}\)の実部または虚部が表記の\(f(x)\)であるから、求める特殊解は
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