特別な行列の名前と定義・性質の一覧

この記事では、特別な名前がつけられた行列をまとめています。

線形代数で取り扱う行列には、特別な役割や性質を持つものが数多く登場します。

それぞれの行列の定義や特徴を整理して理解しておきましょう。

正方行列(square matrix)

正方行列とは、行と列の数が等しい行列のことをいう。

\(n \times n\)の行列をとくに\(n\)次正方行列と呼び、一般に次のように書くことができる。

\[A = a_{ij} = \left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{array}
\right)\]

 

零行列(zero matrix)

行列のすべての要素がゼロであるような行列を零行列と呼ぶ。

\[O = 0 = \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & 0
\end{array}
\right)\]

零行列と任意の行列の和や積について、次の性質がある。ただし、\(A\)と\(O\)はともにn次正方行列とする。

$$A+O=O+A=A,AO=OA=O$$

対角行列(diagonal matrix)

正方行列のうち、対角成分\((a_{ii})\)以外の成分がすべて0であるような行列を対角行列と呼ぶ。

例えば以下のような対角行列が考えられる。

\[\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cccc}
a & 0 & 0 & 0 \\
0 & b & 0 & 0 \\
0 & 0 & c & 0 \\
0 & 0 & 0 & d
\end{array}
\right)\]

単位行列(identity matrix)

対角成分がすべて1であるような対角行列を単位行列と呼ぶ。

\(n\)次の単位行列を\(E_n\)あるいは\(I_n\)などと書く。単に\(E\)や\(I\)とも表される。

\[E_n = I_n = \left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & 1
\end{array}
\right)\]

クロネッカーのデルタを用いて、\((a_{ij})=\delta_{ij}\)と書くこともできる。

三角行列(triangular matrix)

\(n\)次正方行列のうち、対角成分を境にして左下の成分がすべて0である行列を上三角行列、右上の成分がすべて0である行列を下三角行列と呼ぶ。

一般に上三角行列を\(U\)、下三角行列を\(L\)で表す。

\[U = \left(
\begin{array}{cccc}
u_{11} & u_{12} & \ldots & u_{1n} \\
& u_{22} & \ldots & u_{2n} \\
& & \ddots & \vdots \\
0 &  & & u_{nn}
\end{array}
\right),L = \left(
\begin{array}{cccc}
u_{11} &  & & 0 \\
u_{21} & u_{22} & & \\
\vdots& \vdots & \ddots & \\
u_{n1} & u_{n2} & \ldots & u_{nn}
\end{array}
\right)\]

上三角行列かつ下三角行列であるような行列は、対角行列になります。

 

転置行列(transposed matrix)

行列の各成分について、\((a_{ij})\)と\((a_{ji})\)を入れ替える操作を転置という。

対角成分を軸に、行列を折り返すイメージである。転置により作られる行列を転置行列と呼び、\({}^tA\)や\(A^T\)などと表す。

例えば、以下のような行列\(A, B\)の転置行列は次のようになる。

\[A=\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
13 & 14 & 15 & 16
\end{array}
\right),B=\left(
\begin{array}{cc}
a & b & c & d \\
e & f & g & h
\end{array}
\right)\]

\[A^T=\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 5 & 9 & 13 \\
2 & 6 & 10 & 14 \\
3 & 7 & 11 & 15 \\
4 & 8 & 12 & 16
\end{array}
\right),B^T=\left(
\begin{array}{cccc}
a & e \\
b & f \\
c & g \\
d & h
\end{array}
\right)\]

転置は正方行列でなくても行うことができる。\(m\times n\)行列を転置すると\(n\times m\)行列となる。

 

随伴行列(adjoint matrix)

複素数を成分にもつ行列\(A\)について、転置してさらに各成分の複素共役をとってできる行列を随伴行列と呼び、\(A^*\)や\(A^\dagger\)で表す。

例えば、以下のような行列\(A\)の随伴行列は次のようになる。

\[A=\left(
\begin{array}{ccc}
i & 1+i & 1-i \\
-1+i & 1 & -i \\
2i & 0 & -i
\end{array}
\right)\]

\[A^*=\left(
\begin{array}{ccc}
i & -1-i & -2i \\
1-i & 1 & 0 \\
1+i & i & -i
\end{array}
\right)\]

式で書くと、\(A^*=(\bar{a}_{ji})\)となる。

 

対称行列(symmetric matrix)

正方行列\(A\)とその転置行列\(A^T\)が一致するような行列を対称行列と呼ぶ。

$$A=A^T$$

例えば以下の行列は2次の対称行列である。

\[\left(
\begin{array}{cc}
1 & 3 \\
3 & -1
\end{array}
\right)\]

エルミート行列(Hermitian matrix)

複素正方行列\(A\)とその随伴行列\(A^*\)が一致するような行列をエルミート行列または自己随伴行列と呼ぶ。

$$A=A^*$$

エルミート行列では次のような関係式が成り立つ。

$$A^T=(a_{ji})=(\bar{a}_{ij})=\bar{A}$$

エルミート行列は、対称行列の複素数への拡張である。

 

反対称行列(antisymmetric matrix)

正方行列\(A\)の転置行列\(A^T\)が、元の行列の\(-1\)倍になるような行列を反対称行列または交代行列歪対称行列などと呼ぶ。

$$A^T=-A$$

例えば以下の行列は2次の反対称行列である。

\[\left(
\begin{array}{cc}
1 & 3 \\
-3 & -1
\end{array}
\right)\]

反エルミート行列(Anti-Hermitian matrix)

複素正方行列\(A\)の随伴行列\(A^*\)が、元の行列の\(-1\)倍になるような行列を反エルミート行列または歪エルミート行列と呼ぶ。

$$A^*=-A$$

反エルミート行列は、反対称行列の複素数への拡張である。

 

正規行列(normal matrix)

複素正方行列\(A\)について、随伴行列\(A^*\)と可換すなわち積の順序を入れ替えても同じ結果となるような行列を正規行列と呼ぶ。

$$A^*A=AA^*$$

実数成分の行列の場合は\(A^*=A^T\)である。よって、正規行列である条件は次のようになる。

$$A^TA=AA^T$$

正規行列は対角化可能である。

 

直交行列(orthogonal matrix)

正方行列\(U\)とその転置行列\(U^T\)の積が単位行列になるような行列を直交行列と呼ぶ。

$$U^TU=UU^T=E$$

直交行列\(U\)については、転置行列が逆行列と等しい。

$$U^T=U^{-1}$$

 

2次の直交行列の例を挙げる。

\[\left(
\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}
\right)\]

これは原点まわりの\(\theta\)回転を表す行列である。

 

ユニタリ行列(unitary matrix)

複素正方行列\(U\)とその随伴行列\(U^*\)の積が単位行列になるような行列をユニタリ行列と呼ぶ。

$$U^*U=UU^*=E$$

ユニタリ行列については、随伴行列は逆行列に等しい。

ユニタリ行列は、直交行列の複素数への拡張である。

 

まとめページ

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