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行列

行列の最小多項式の性質と求め方

行列の最小多項式を用いると、ジョルダン標準形の形を知ることができる。 ここでは、最小多項式の定義と性質、求め方について解説する。具体的な行列に対して最小多項式を求める演習問題を解きながら、手順を理解しよう。 また、固有多項式と最小多項式を用いてジョルダン標準形を分類する。   ジョルダン標 […]

ジョルダン細胞とn乗の計算

これから学ぶジョルダン標準形を形成する要素である、ジョルダン細胞(またはジョルダンブロック)について述べておく。 ジョルダン細胞の表し方と、n乗の計算について考えていく。 ジョルダン細胞とは 次の形で表される\(n\)次正方行列をジョルダン細胞といい、\(J(\lambda,n)\)とかく。 \[\ […]

2次形式と行列の定値性について

前回は2次形式の標準形について勉強した。 実対称行列を直交行列で対角化できることを利用して、2次形式を標準形に変換できることはわかったが、これができると何が嬉しいのかについてはまだ触れていなかった。 ここでは、2次形式および行列の定値性(符号)との関係を紹介していく。   定値性とは 2次 […]

2次形式の標準化

対称行列の対角化の応用例のひとつとして、2次形式の行列表示および標準化について学ぶ。 2次形式の標準形を求めると、少し複雑な二次曲線が描けるほか、行列の符号の判定が簡単にできるようになる。   2次形式とは 2次形式とは、二次の項のみからなる多項式のことをいう。 たとえば $$q(x_1, […]

行列の指数関数の定義と計算例

行列の対角化およびn乗の計算を学んできたが、これらと関わりのある行列演算をもう一つ紹介しておく。 それは行列の指数関数と呼ばれるものである。   行列の指数関数は、通常の指数関数を行列に拡張したもので、微分方程式の解法にも用いることができる。 ここでは、行列の指数関数の定義と性質、そして具 […]

実対称行列の性質と直交行列による対角化

前回の記事では、一般の行列の対角化の条件や計算手順を学んだ。 ここでは、実対称行列に着目して、その性質および対角化について解説する。   実対称行列とは 成分がすべて実数である対称行列を実対称行列という。 $$\overline{A}=A(実行列) かつ A^T=A(対称行列)$$ 各成分 […]

行列の対角化の手順と計算例

前回は行列の固有値と固有ベクトルの求め方を学んだ。 ここでは、この応用として重要な行列の対角化を紹介する。   線形代数では、行列の対角化は必ず学ぶ内容である。 対角行列は取り扱いがしやすいという利点があり、例えば行列のn乗の計算などに利用することができる。   行列の対角化とは […]