行列│新米夫婦のふたりごと

行列の最小多項式の性質と求め方

行列の最小多項式を用いると、ジョルダン標準形の形を知ることができる。ここでは、最小多項式の定義と性質、求め方について解説する。具体的な行列に対して最小多項式を求める演習問題を解きながら、手順を理解しよう。また、固有多項式と最小多項式を用いてジョルダン標準形を分類する。ジョルダン標 […]

これから学ぶジョルダン標準形を形成する要素である、ジョルダン細胞（またはジョルダンブロック）について述べておく。ジョルダン細胞の表し方と、n乗の計算について考えていく。ジョルダン細胞とは次の形で表される$n$次正方行列をジョルダン細胞といい、$J(\lambda,n)$とかく。 \[\ […]

前回は２次形式の標準形について勉強した。実対称行列を直交行列で対角化できることを利用して、２次形式を標準形に変換できることはわかったが、これができると何が嬉しいのかについてはまだ触れていなかった。ここでは、２次形式および行列の定値性（符号）との関係を紹介していく。定値性とは２次 […]

対称行列の対角化の応用例のひとつとして、２次形式の行列表示および標準化について学ぶ。２次形式の標準形を求めると、少し複雑な二次曲線が描けるほか、行列の符号の判定が簡単にできるようになる。２次形式とは２次形式とは、二次の項のみからなる多項式のことをいう。たとえば $$q(x_1, […]

行列の対角化およびn乗の計算を学んできたが、これらと関わりのある行列演算をもう一つ紹介しておく。それは行列の指数関数と呼ばれるものである。行列の指数関数は、通常の指数関数を行列に拡張したもので、微分方程式の解法にも用いることができる。ここでは、行列の指数関数の定義と性質、そして具 […]

前回の記事では、一般の行列の対角化の条件や計算手順を学んだ。ここでは、実対称行列に着目して、その性質および対角化について解説する。実対称行列とは成分がすべて実数である対称行列を実対称行列という。 $$\overline{A}=A（実行列）　かつ　A^T=A（対称行列）$$ 各成分 […]

前回は行列の固有値と固有ベクトルの求め方を学んだ。ここでは、この応用として重要な行列の対角化を紹介する。線形代数では、行列の対角化は必ず学ぶ内容である。対角行列は取り扱いがしやすいという利点があり、例えば行列のn乗の計算などに利用することができる。行列の対角化とは […]