微分積分学

広義積分の収束条件とガンマ関数・ベータ関数について

前回に引き続き、広義積分の収束について学んでいきます。 絶対収束 被積分関数は積分区間の内側で連続であるとします。 一般に、\(|f(x)|\)がある区間で広義可積であるとき、その区間で\(f(x)\)は絶対可積であるといい、f(x)の広義積分は絶対収束するといいます。   不等式 $$\ […]

非有界関数および無限区間における広義積分の計算

これまでは有界な関数の有限区間における積分を扱ってきました。 ここからは、有界でない関数の積分および無限区間における積分を定義していきたいと思います。 非有界関数の積分 \(f(x)\)は\((a,b]\)上の非有界関数で、任意の\(a'(a<a'<b)\)に対して\([a’ […]

積分の平均値定理と微分積分学の基本定理

前回は、定積分の定義と積分可能性について学びました。（定積分①） 今回は、まずはじめに定積分に成り立つ性質および積分の平均値の定理について述べます。そして最後に、解析学の重要な定理である「微分積分学の基本定理」を示していきます。 微分積分学の基本定理により、微分と積分が逆演算であることが示されます。 […]

特性方程式と2階線形微分方程式の解法

今回学ぶ微分方程式が、大学1回生で学ぶ最も難しいタイプのものになります。 これまでの微分方程式の復習はこちら⇒1階線形微分方程式、2階線形微分方程式   手順は長くなりますが、丁寧に計算していけば必ず解けるようになります。それではいきましょう。 定数係数2階線形微分方程式 最終目標は、 $ […]

2階線形微分方程式の解法

1階線形微分方程式に続き、2階の微分方程式について考えていきたいと思います。 一般に、2階以上の微分方程式について積分を使って解を求める公式は存在しません。なのでここでは解の存在や性質に関して論じることにします。 2階線形微分方程式 $$y^{\prime\prime}+p_1(x)y’ […]

変数分離形・同次形・１階線形微分方程式の一般解の求め方

不定積分を学ぶことで、微分方程式を解くことができるようになります。 微分方程式とは関数の微分形を含む方程式で、元の関数を求めることを微分方程式を解く、といいます。 微分方程式を解くことで、自然界の様々な法則を導き出していくことができます。まずはその基礎から始め、科学の奥深い世界を楽しむ準備をしていき […]

部分分数分解と有理関数・三角関数・無理関数の不定積分

前回は不定積分の基礎について学びました。 今回は、有理関数・三角関数・無理関数のそれぞれについて積分を行う際の方法について述べていきます。 有理関数 2つの多項式\(P(x)、Q(x)\)の比で表される関数\(f(x)=Q(x)/P(x)\)を有理関数とよびます。 有理数と同じ形に表される関数で、分 […]

不定積分の定義と計算方法

今回から、積分法に入っていきます。 まずは不定積分を定義し、積分の計算になれるところから始めたいと思います。 不定積分とは 関数\(f(x)\)に対し、\(F'(x)=f(x)\)を満たす関数\(F(x)\)を、\(f(x)\)の原始関数または不定積分という。 微分・積分を図に示すと上ような関係にな […]

平面上の曲線と曲率の公式

前回は空間中の曲線について曲率を定義していきました。 しかし、通常曲率を求める対象は空間曲線ではなく、平面上の曲線すなわち\(y=f(x)\)の関数であることが多いと思います。 今回は平面上の関数について曲率を求める式を導出し、具体的な計算例を示していきます。 平面上の曲線と曲率 まず空間曲線を平面 […]

曲率と曲率半径の求め方

前回は空間曲線をベクトルによって表記することを学びました。 この記事では、曲線の特徴量である曲率と曲率半径について学習していきます。 曲率とはなにか 日常生活ではあまり聞きなれない言葉かもしれませんが、私たちの生活の中で曲率(または曲率半径)は多く活用されています。 たとえば、道路のカーブやジェット […]