1階線形微分方程式に続き、2階の微分方程式について考えていきたいと思います。
一般に、2階以上の微分方程式について積分を使って解を求める公式は存在しません。なのでここでは解の存在や性質に関して論じることにします。
2階線形微分方程式
この形で表される微分方程式を、2階線形微分方程式と呼びます。
1階線形微分方程式の一般解は、不定積分を含む形で与えられました。
このように、不定積分によって解を求める方法を求積法と呼びます。2階以上の場合には求積法による解の公式はありません。
定理1
方程式\(y^{\prime\prime}+p_1(x)y’+p_2(x)y=q(x)\)において、\(p_1(x)、p_2(x)、q(x)\)は開区間\(I\)(無限区間でもよい)上で連続とする。
このとき、任意の\(x_0\in I\)と任意の実数\(C_0、C_1\)に対して、\(y(x_0)=C_0，y'(x_0)=C_1\)を満たす解がただ一つだけ存在する。
解の一次独立と一次従属
\(q(x)=0\)とした同次方程式「y^{\prime\prime}+p_1(x)y’+p_2(x)y=0」を考える。
\(y_1\)および\(y_2\)が共に解であるとき、その一次結合(線形結合ともいう)\(C_1y_1+C_2y_2\)も解である。
\(C_1y_1+C_2y_2≡0\)となるのが\(C_1=C_2=0\)のときのみである場合、\(y_1、y_2\)は一次独立であるという。
一次独立でないとき、一次従属であるという。
\(y≡0\)は一つの解であり、これを自明な解とよぶ。
ロンスキー行列式(ロンスキアン)
一般に、微分可能な関数\(y_1、y_2\)に対し、行列式
$$
W[y_1,y_2](x)= \left|
\begin{array}{rrr}
y_1(x) & y_2(x)\\
y’_1(x) & y’_2(x)
\end{array}
\right|
$$
を、\(y_1, y_2\)のロンスキー行列式(またはロンスキアン)と呼ぶ。
定理2
\(y_1, y_2\)を同次方程式の解とするとき、\(y_1, y_2\)が一次従属ならば、\(I\)上で\(W[y_1, y_2](x)≡0\)であり、\(y_1, y_2\)が一次独立ならば、\(I\)上で\(W[y_1, y_2](x)\not =0\)である。
したがって、ある点\(x_0\in I\)で\(W[y_1, y_2](x_0)\not =0\)ならば\(y_1, y_2\)は一次独立である。
定理3
同次方程式は一次独立な解\(y_1, y_2\)を持ち、すべての解は\(y_1, y_2\)の一次結合で表される。
よって、解の全体は2次元の線形空間を形成する。
この線形空間の基底をなす一組の解\(y_1, y_2\)を基本解と呼ぶ。
\(y^{\prime\prime}+p_1(x)y’+p_2(x)y=q(x)\)の一つの解を\(y_0\)、一組の基本解を\(y_1,y_2\)とすると、
すべての解は\(y_0+C_1y_1+C_2y_2\)の形に一通りに表される。すなわち、
非同次方程式の一般解は同次方程式の一般解に非同次方程式の一つの解を加えたものとなる。
このことは、2階の線形微分方程式を解く上でよく用いることになります。
同次方程式の一般解を、元の非同次方程式の余関数と呼びます。
階数降下法(階数低下法)
求積法による公式はありませんが、求積法で解くことのできる場合もあります。
同次方程式の自明でない解\(u\)がひとつわかっているとき、\(y=uv\)とおいて代入すると
\[
\begin{align*}
y^{\prime\prime}+p_1y’+p_2y &= (u^{\prime\prime}+p_1u’+p_2u)v+uv^{\prime\prime}+(p_1u+2u’)v’ \\
& =uv^{\prime\prime}+(p_1u+2u’)v’
\end{align*}
\]
よって、解くべき微分方程式は
$$uv^{\prime\prime}+(p_1u+2u’)v’=q$$
となるが、これは\(v’\)に関する1階線形微分方程式である。
例題
\(y^{\prime\prime}+xy’-y=x^2\)は、\(u=x\)を同次方程式の解として持つ。
\(y=xv\)とおくと、
$$xv^{\prime\prime}+(2+x^2)v’=x^2$$
$$v^{\prime\prime}+\left( \frac{2}{x}+x\right) v’=x$$
となる。これを解くと、
$$v=x+\frac{2}{x}+C_1\int x^{-2}e^{-\frac{x^2}{2}}dx+C_2$$
$$y=x^2+2+C_1x\int x^{-2}e^{-\frac{x^2}{2}}dx+C_2x$$
1階の場合に比べ複雑になりますね。
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