前回に引き続き、広義積分の収束について学んでいきます。
絶対収束
被積分関数は積分区間の内側で連続であるとします。
一般に、\(|f(x)|\)がある区間で広義可積であるとき、その区間で\(f(x)\)は絶対可積であるといい、f(x)の広義積分は絶対収束するといいます。
不等式
$$\left| \int_b^{b’}f(x)dx \right| \le \int_b^{b’} |f(x)|dx (b<b’)$$
により、絶対収束する広義積分は収束します。
一方、収束するが絶対収束ではない広義積分のことを、条件収束するといいます。
収束判定条件
よく用いられるものを以下に挙げます。
\(\displaystyle{\int_a^{\infty}f(x)dx}\)が収束するための条件は、次が成り立つことである。
$$b,b’ \to\infty のとき、\int_b^{b’}f(x)dx\to0$$
\([a,\infty)\)上で\(f(x)\ge0\)のとき、\(\int_a^{\infty}f(x)dx\)が収束するための条件は、
$$不定積分\int_a^x f(t)dt（a<x<\infty）が有界$$
となることである。
\([a,\infty)\)上で\(|f(x)|\le\phi(x)\)とする。このとき、
定理
\((a,b](または[a,b))\)において\(x=a(x=b)\)を\(f(x)\)の特異点とする。ある\(\lambda<1\)に対し
$$(x-a)^{\lambda}f(x)((b-x)^{\lambda}f(x))$$
が\((a,b)\)で有界であるならば
$$\int_a^b f(x)dxは絶対収束する$$
\([a,\infty)\)上の関数\(f(x)\)について、ある\(\lambda>1\)に対し\(x^{\lambda}f(x)\)が\([a,\infty)\)で有界であるならば
$$\int_a^{\infty} f(x)dxは絶対収束する$$
ガンマ関数 \(\Gamma(s)\)
次の広義積分の収束性について考えます。
(ⅰ)0<s<1のとき
\(x=0\)は\(f(x)=e^{-x}x^{s-1}\)の特異点です。このとき、
$$x^{1-s}f(x)=e^{-x}<1（0<x<\infty）$$
であるから、先の定理により
$$\int_0^1 f(x)dx$$
は収束します。
(ⅱ)x→∞のとき
\(e^{-x}x^{s+1}\to0\)であるから、\(x^2f(x)=e^{-x}x^{s+1}\)は\((1,\infty)\)で有界です。
よって、先の定理により
$$\int_1^{\infty} f(x)dx$$
は収束します。
以上から、すべての\(s>0\)に対して
$$\int_0^{\infty} e^{-x}x^{s-1}dx$$
は収束します。
ガンマ関数の性質
部分積分法により、\(s>0\)のとき
ここで、右辺第一項は0になるので、次式を得ます。
$$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s) (s>0)$$
\(\Gamma(1)=1\)なので
$$\Gamma(n)=(n-1)! (n\in\mathbb{N})$$
これより、\(\mathbf{\Gamma(s)}\)は階乗関数\(\mathbf{(n-1)!}\)の正の数全体への拡張と考えることができます。
ベータ関数\(B(p,q)\)
同様にして、
$$\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx (p,q>0)$$
が収束することを確認できます。この広義積分を\(B(p,q)\)で表し、ベータ関数と呼びます。
ベータ関数とガンマ関数の関係式
ベータ関数はガンマ関数を用いて次のように表すことができます。
$$B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$$
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