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広義積分の収束条件とガンマ関数・ベータ関数について

前回に引き続き、広義積分の収束について学んでいきます。

絶対収束

被積分関数は積分区間の内側で連続であるとします。

一般に、\(|f(x)|\)がある区間で広義可積であるとき、その区間で\(f(x)\)は絶対可積であるといい、f(x)の広義積分は絶対収束するといいます。

 

不等式

$$\left| \int_b^{b’}f(x)dx \right| \le \int_b^{b’} |f(x)|dx (b<b’)$$

により、絶対収束する広義積分は収束します。

一方、収束するが絶対収束ではない広義積分のことを、条件収束するといいます。

収束判定条件

よく用いられるものを以下に挙げます。

\(\displaystyle{\int_a^{\infty}f(x)dx}\)が収束するための条件は、次が成り立つことである。

$$b,b’ \to\infty のとき、\int_b^{b’}f(x)dx\to0$$

\([a,\infty)\)上で\(f(x)\ge0\)のとき、\(\int_a^{\infty}f(x)dx\)が収束するための条件は、

$$不定積分\int_a^x f(t)dt(a<x<\infty)が有界$$

となることである。

\([a,\infty)\)上で\(|f(x)|\le\phi(x)\)とする。このとき、

$$\int_a^{\infty} \phi(x)dxが収束するならば、\int_a^{\infty} f(x)dxは絶対収束する$$

定理

\((a,b](または[a,b))\)において\(x=a(x=b)\)を\(f(x)\)の特異点とする。ある\(\lambda<1\)に対し

$$(x-a)^{\lambda}f(x)((b-x)^{\lambda}f(x))$$

が\((a,b)\)で有界であるならば

$$\int_a^b f(x)dxは絶対収束する$$

 

\([a,\infty)\)上の関数\(f(x)\)について、ある\(\lambda>1\)に対し\(x^{\lambda}f(x)\)が\([a,\infty)\)で有界であるならば

$$\int_a^{\infty} f(x)dxは絶対収束する$$

 

ガンマ関数 \(\Gamma(s)\)

次の広義積分の収束性について考えます。

$$\int_0^{\infty} e^{-x}x^{s-1}dx (s>0)$$

(ⅰ)0<s<1のとき

\(x=0\)は\(f(x)=e^{-x}x^{s-1}\)の特異点です。このとき、

$$x^{1-s}f(x)=e^{-x}<1(0<x<\infty)$$

であるから、先の定理により

$$\int_0^1 f(x)dx$$

は収束します。

(ⅱ)x→∞のとき

\(e^{-x}x^{s+1}\to0\)であるから、\(x^2f(x)=e^{-x}x^{s+1}\)は\((1,\infty)\)で有界です。

よって、先の定理により

$$\int_1^{\infty} f(x)dx$$

は収束します。

 

以上から、すべての\(s>0\)に対して

$$\int_0^{\infty} e^{-x}x^{s-1}dx$$

は収束します。

 

\(s>0\)の関数\(\int_0^{\infty} e^{-x}x^{s-1}dx\)を\(\Gamma(s)\)とかき、ガンマ関数と呼びます。

ガンマ関数の性質

部分積分法により、\(s>0\)のとき

$$\int_0^{\infty} e^{-x}x^sdx=\left[ -e^{-x}x^s \right]_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx$$

ここで、右辺第一項は0になるので、次式を得ます。

$$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s) (s>0)$$

\(\Gamma(1)=1\)なので

$$\Gamma(n)=(n-1)! (n\in\mathbb{N})$$

これより、\(\mathbf{\Gamma(s)}\)は階乗関数\(\mathbf{(n-1)!}\)の正の数全体への拡張と考えることができます。

 

ベータ関数\(B(p,q)\)

同様にして、

$$\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx (p,q>0)$$

が収束することを確認できます。この広義積分を\(B(p,q)\)で表し、ベータ関数と呼びます。

ベータ関数とガンマ関数の関係式

ベータ関数はガンマ関数を用いて次のように表すことができます。

$$B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$$

 

ガンマ関数・ベータ関数について

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