部分分数分解と有理関数・三角関数・無理関数の不定積分

前回は不定積分の基礎について学びました。

今回は、有理関数・三角関数・無理関数のそれぞれについて積分を行う際の方法について述べていきます。

有理関数

2つの多項式\(P(x)、Q(x)\)の比で表される関数\(f(x)=Q(x)/P(x)\)を有理関数とよびます。

有理数と同じ形に表される関数で、分数関数とも呼びます。

分子の次数をさげていくことができる、ということです。

部分分数分解

有理関数の積分において、部分分数分解は必須のテクニックになります。

上のような一般の形では少しわかりにくいですが、実際の計算は比較的シンプルです。以下の例で確認しましょう。

部分分数分解の例

$$\frac{x}{(x-1)(x-2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}とおくと$$

\[
\begin{align*}
\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}&=\frac{a(x-2)+b(x-1)}{(x-1)(x-2)} \\
&=\frac{(a+b)x+(-2a-b)}{(x-1)(x-2)}
\end{align*}
\]

分子の係数を比較して、

$$a+b=1, -2a-b=0より(a,b)=(-1,2)$$

よって

$$\frac{x}{(x-1)(x-2)}=-\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-2}$$

$$\frac{1}{x(x-2)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{(x-2)^2}とおく。$$

両辺に\(x(x-2)^2\)をかけて

$$1=a(x-2)^2+bx(x-2)+cx$$

\(x=0,1,2\)をそれぞれ代入して

$$1=4a、1=2c、1=a-b+cより$$

$$(a,b,c)=\left( \frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{2} \right)$$

よって

三角関数

\(R(X, Y)をX, Y\)の有理関数、すなわち2変数\(X,Y\)の多項式の商として表される関数とするとき、\(R(\cos x, \sin x)\)の積分は有理関数の積分に帰着されます。

\(\displaystyle{\tan \frac{x}{2}=t}\)とおくと、

無理関数

無理関数の積分は置換することで計算します。

(1)　\(R(x, \sqrt{ax^2+bx+c})\)の場合

(ⅰ) \(a>0\)のとき

$$\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}xとおく$$

(ⅱ) \(a<0\)のとき

\(ax^2+bx+c=0\)の実数解を\(\alpha, \beta（\alpha <\beta）\)とし、

$$t=\sqrt{\frac{x-\alpha}{\beta -x}}とおく$$

(2)　\(R(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})\)の場合

$$t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}とおく$$

(3)　二項積分　\(I=\int x^p (ax^q+b)^r dx\)　\((p,q,r：有理数)\)の場合

\(x^q=t\)とおくと、

\[
\begin{align*}
I&=\frac{1}{q}\int t^{\frac{p+1}{q}-1} (at+b)^r dt \\
&=\frac{1}{q}\int t^{\frac{p+1}{q}+r-1} \left( \frac{at+b}{t} \right)^r dt
\end{align*}
\]

(ⅰ) \(\frac{p+1}{q}\)が整数のとき

$$nをrの分母とし、さらにu=(at+b)^{\frac{1}{n}}とおく$$

(ⅱ) \(\frac{p+1}{q}+r\)が整数のとき

$$u=\left( \frac{at+b}{t} \right)^{\frac{1}{n}}とおく$$

(ⅲ) \(r\)が整数のとき

$$\frac{p+1}{q}の分母をmとし、u=t^{\frac{1}{m}}とおく$$

まとめページ

理工数学

線形代数学 内積の定義と正値性・対称性・線形性について 特別な行列の名前と定義・性質の一覧 対称行列と反対称行列の性質・分解公式 行列のn乗の計算方法ー４つのパターン サラスの公式による行列式の計算方法 余因[…]