非有界関数および無限区間における広義積分の計算

微分積分学 $微分積分学　広義積分$

これまでは有界な関数の有限区間における積分を扱ってきました。

ここからは、有界でない関数の積分および無限区間における積分を定義していきたいと思います。

1 非有界関数の積分
2 無限区間における積分
3 広義積分の計算例
4 積分の収束と発散

非有界関数の積分

$f(x)$は$(a,b]$上の非有界関数で、任意の$a'(a<a'<b)$に対して$[a’,b]$で有界かつ可積とする。

このとき、有限な極限値

$$\lim_{a’\to a+0}\int_{a’}^b f(x)dx$$

が存在するならば、$f(x)$は$(a,b]$で広義積分可能(広義可積)であるといい、この極限値を次のように表す。

$$\int_a^b f(x)dx$$

$f(x)$は点$x=a$の近くで有界ではありません。このような点を$f(x)$の特異点とよびます。

$[a,b)$において、$x=b$が特異点の場合も同様です。

また、区間の内部に特異点が存在する場合は次のようになります。

閉区間$[a,b]$の内部にただ一つの特異点$x=c$があるときは、$c$で区間を分けた2つの広義積分

$$\int_a^c f(x)dx=\lim_{\varepsilon\to +0}\int_a^{c-\varepsilon} f(x)dx、\int_c^b f(x)dx=\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{c+\varepsilon}^b f(x)dx$$

がともに存在するとき、$f(x)$は$[a,b]$で広義積分可能であるといい、2つの和を次で表す。

$$\int_a^b f(x)dx$$

無限区間における積分

$f(x)$は無限区間$[a,\infty)$で定義されていて、任意の$a'(>a)$に対して積分

$$\int_a^{a’} f(x)dx$$

が存在するとする。このとき、有限な極限値

$$\lim_{a’\to\infty}\int_a^{a’}f(x)dx$$

が存在するならば、$f(x)$は$[a,\infty)$で広義積分可能であるといい、この極限値を次のように表す。

$$\int_a^{\infty}f(x)dx$$

同様に、$(-\infty ,a]$における積分を定義することができます。

$f(x)$が$(-\infty ,\infty)$で定義されていて、2つの広義積分

$$\int_a^{\infty} f(x)dx=\lim_{a’\to\infty} \int_a^{a’} f(x)dx、\int_{-\infty}^a f(x)dx=\lim_{a’\to -\infty} \int_{a’}^a f(x)dx$$

がともに存在するならば、$f(x)$は$(-\infty ,\infty)$で広義積分可能といい、これらの和を

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx$$

で表す

広義積分の計算例

$$\int_0^1 \frac{dx}{x^{\lambda}}を計算せよ$$

被積分関数は、$x=0$に特異点を持ちます。

(解)

(ⅰ) λ<1のとき

$$\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{\varepsilon}^1 \frac{dx}{x^{\lambda}}=\lim_{\varepsilon\to +0}\left[\frac{x^{1-\lambda}}{1-\lambda}\right]_{\varepsilon}^1=\lim_{\varepsilon\to +0}\frac{1-\varepsilon^{1-\lambda}}{1-\lambda}=\frac{1}{1-\lambda}$$

(ⅱ) λ=1のとき

$$\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{\varepsilon}^1 \frac{dx}{x}=\lim_{\varepsilon\to +0} (-\log\varepsilon)=\infty$$

(ⅲ) λ>1のとき

$$\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{\varepsilon}^1 \frac{dx}{x^{\lambda}}=\lim_{\varepsilon\to +0}\frac{1-\varepsilon^{1-\lambda}}{1-\lambda}=\infty$$

以上まとめて、

\[
\int_0^1 \frac{dx}{x^{\lambda}}=\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{1-\lambda} &(\lambda <1) \\
存在しない &(\lambda\ge 1)
\end{array}
\right.
\]

積分の収束と発散

主値積分

$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x}$は存在しないので、$\displaystyle \int_{-1}^1 \frac{dx}{x}$はもちろん存在しません。しかし

$$\lim_{\varepsilon\to +0}\left( \int_{-1}^{-\varepsilon}+\int_{\varepsilon}^1 \right)\frac{dx}{x}=\lim_{\varepsilon\to +0}([\log |x|]_{-1}^{-\varepsilon}+[\log x]_{\epsilon}^1)=0$$

という計算をすることができます。この値を主値積分といい、積分記号の前にPを付けて次のようにかきます。

$$P\int_{-1}^1 \frac{dx}{x}=0$$

収束と発散

広義積分が存在するとき、積分は収束するといい、広義積分が存在しないとき、積分は発散するといいます。

例

$$\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}dxは収束するか発散するかを調べよ$$

(解)

$x\to 0$のとき、$\displaystyle \frac{\sin x}{x}\to 1$であるから、$x=0$は特異点ではない。$0<a<a’$に対して

\[
\begin{align*}
\left| \int_0^{a’}\frac{\sin x}{x}dx-\int_0^a\frac{\sin x}{x}dx \right|&=\left| \int_a^{a’}\frac{\sin x}{x}dx \right| \\
&=\left| \left[ \frac{-\cos x}{x} \right]_a^{a’}-\int_a^{a’}\frac{\cos x}{x^2}dx \right| \\
&\le \frac{1}{a}+\frac{1}{a’}+\int_a^{a’}\frac{dx}{x^2} \\
&=\frac{2}{a}
\end{align*}
\]

したがって、$a,a’\to\infty$のとき

$$\int_0^{a’}\frac{\sin x}{x}dx-\int_0^a\frac{\sin x}{x}dx\to 0$$

ゆえに、有限な$\displaystyle \lim_{a\to\infty}\int_0^a\frac{\sin x}{x}dx$が存在し、$\displaystyle \int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx$は収束する。

一方、$\displaystyle \int_0^{\infty}\left| \frac{\sin x}{x}\right|dx$は発散することが次式から分かります。

$$\int_0^{n\pi}\left| \frac{\sin x}{x}\right|dx=\sum_{k=1}^n\int_{(k-1\pi)}^{k\pi}\left| \frac{\sin x}{x}\right|dx>\sum_{k=1}^n\int_{(k-1\pi)}^{k\pi} \frac{|\sin x|}{k\pi}dx=\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$$

f(x)が広義可積でも、|f(x)|も広義可積であるとは限りません。

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