フーリエ解析

離散フーリエ変換(DFT)とサンプリング定理の概要

離散フーリエ変換 ここまで、フーリエ変換の数学的な理論について学んできた。 実際にフーリエ変換を応用する場合には、現実の信号を有限の時間で測定し、離散的なデータを元にコンピュータを用いて計算しなくてはならない。 これから、そのための手法である「離散フーリエ変換」について学んでいく。   サ […]

三角関数のフーリエ変換

三角関数のフーリエ変換 これまで、フーリエ変換は信号\(g(t)\)を周期関数に分解するということを学んできた。 では、三角関数のように元々分解されている周期関数はどのようにフーリエ変換したらよいかを考えよう。 \(\delta\)関数 準備のため、\(\delta\)関数に関する以下の公式を導出し […]

パワースペクトルの例－白色ノイズとブラウン運動

白色ノイズ 白色雑音、ホワイトノイズとも呼ばれる。 白色ノイズは周波数によらず振幅が等しいノイズのことであり、自己相関係数\(C(t)\)がデルタ関数で表される。 $$C(t)=D\delta(t)$$ \(D\)はノイズの強さを表す量であり、\(C(t)\)は\(g(t)=\xi(t)\)として定 […]

パーシバルの定理の証明とパワースペクトルについて

パーシバル(Parseval)の定理 関数\(g(t)\)とそのフーリエ変換\(G(f)\)について、次式が成り立つ。 $$\int_{-\infty}^{\infty}|g(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{\infty}|G(f)|^2df$$ 証明 \[ \begin{align […]

畳み込み積分のフーリエ変換の導出と応用

畳み込み積分とフーリエ変換 2つの関数\(g_1(t)、g_2(t)\)に対し、以下の積分を畳み込み積分という。 $$g_1(t)＊g_2(t)\equiv\int_{-\infty}^{\infty}g_1(t’)g_2(t-t’)dt’$$   \( […]

フーリエ変換の加算性・対称性と振幅・位相スペクトル

これ以降、フーリエ変換を記号\(\mathcal{F}\)で表すことにします。 すなわち、フーリエ変換および逆フーリエ変換は次のように記述されます。 $$\mathcal{F}[g(t)]=G(f)　：フーリエ変換$$ $$\mathcal{F}^{-1}[G(f)]=g(t)　：逆フーリエ変換$$ […]

複素フーリエ級数展開式の導出と計算例

前回(フーリエ級数展開)に引き続き、複素関数の場合のフーリエ級数展開の式を学びます。 複素フーリエ級数展開 周期\(T\)を持つ複素関数\(g(t)\)のフーリエ級数展開およびフーリエ係数は次式で与えられる。 $$g(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}c_ne^{i\frac{2\ […]

フーリエ級数展開式の導出と矩形波・鋸波のフーリエ係数の計算

フーリエ変換について学んでいく。 まずは、周期関数を簡単な三角関数の重ね合わせで表現するフーリエ級数展開から始めよう。 級数展開式の導出、そして矩形波と鋸波に対するフーリエ級数展開式を求めていく。 フーリエ級数展開 周期\(T\)の周期関数\(g(t)\)のフーリエ級数展開は、次式で与えられる。 $ […]