三角関数のフーリエ変換
これまで、フーリエ変換は信号g(t)を周期関数に分解するということを学んできた。
では、三角関数のように元々分解されている周期関数はどのようにフーリエ変換したらよいかを考えよう。
\delta関数
準備のため、\delta関数に関する以下の公式を導出しておく。
\delta(f-f’)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi i(f-f’)t}dt
(証明)
フーリエ変換と逆フーリエ変換により導くことができる。
\begin{align*} G(f) & =\int_{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-2\pi ift}dt \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\left[\int_{-\infty}^{\infty}G(f’)e^{2\pi if’t}df’\right]e^{-2\pi ift}dt \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}G(f’)\left[\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi i(f’-f)t}dt\right]df’ \end{align*}
ここで、delta関数の性質
G(f)=\int_{-\infty}^{\infty}G(f’)\delta(f’-f)df’
と見比べると、
\delta(f’-f)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi i(f’-f)t}dt
を得る。デルタ関数は偶関数なので、
\delta(f-f’)=\delta(f’-f)
より、公式を得る。
(証明終)
三角関数のフーリエ変換
上のデルタ関数に関する公式を用いることで、cosやsinのフーリエ変換を行うことができる。
オイラーの公式より、
\begin{align*} g(t) & =\cos(2\pi f_0t) \\ & =\frac{1}{2}(e^{2\pi if_0t}+e^{-2\pi if_0t}) \end{align*}
と書ける。すると、このフーリエ変換は
\begin{align*} G(f) & =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2}(e^{2\pi if_0t}+e^{-2\pi if_0t})e^{-2\pi ift}dt \\ & =\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}(e^{-2\pi i(f-f_0)t}+e^{-2\pi i(f+f_0)t})dt \\ & =\frac{1}{2}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(f-f_0)t}dt+\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(f+f_0)t})dt\right) \\ & =\frac{1}{2}\left(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\right) \end{align*}
g(t)=\cos(2\pi f_0t)のフーリエ変換は、f=\pm f_0に\delta関数のピークをもつ関数となる。なお、cos関数は偶関数なので、そのフーリエ変換は実部しか持たない。
また、f_0=0とおくとg(t)=1となり、定常関数のフーリエ変換は
G(f)=\delta(f)
のように\delta関数となることがわかる。
g(t)=\sin(2\pi f_0t)についても同様にして
G(f)=-\frac{i}{2}\left(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\right)
となる。sin関数は奇関数なので、そのフーリエ変換は虚部しか持たない。
cosやsinのフーリエ変換はそれぞれ実部のみ、虚部のみという違いがあるものの、振幅スペクトル|G(f)|やエネルギースペクトル|G(f)|^2についてはいずれも周波数f=\pm f_0にデルタ関数のピークをもつ関数という点で共通である。
その他の周期関数のフーリエ変換
周期関数g(t)は、周期T_0/nをもつcos関数とsin関数の和に分解(フーリエ級数展開)すればよい。
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