フーリエ変換について学んでいく。
まずは、周期関数を簡単な三角関数の重ね合わせで表現するフーリエ級数展開から始めよう。
級数展開式の導出、そして矩形波と鋸波に対するフーリエ級数展開式を求めていく。
フーリエ級数展開
周期\(T\)の周期関数\(g(t)\)のフーリエ級数展開は、次式で与えられる。
$$g(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right) \right]$$
第一項は定数、第二項は周期\(T/n\)をもつ三角関数の線形和である。
このとき、フーリエ係数\(a_n、b_n\)は次の積分で求められる。
$$a_n=\frac{2}{T}\int_0^Tg(t)\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt (n\ge0)$$
$$b_n=\frac{2}{T}\int_0^Tg(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt (n\ge1)$$
フーリエ係数の導出
準備として、三角関数の積分に関する以下の公式を導いておこう。
$$\int_0^T\cos\left(\frac{2\pi mt}{T}\right)\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt=\frac{T}{2}\delta_{mn}$$
ただし、\(\delta_{mn}\)はクロネッカーのデルタである。
(証明)
三角関数の積和公式：
$$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}$$
を適用すると、上式は
となる。
m=nの場合
\[
\begin{align*}
(左辺) & =\int_0^T\frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{2\pi(m+n)t}{T}\right)+1\right]dt \\
& =\frac{1}{2}\left[\frac{T}{2\pi(m+n)}\sin\left(\frac{2\pi(m+n)t}{T}\right)+t\right]_0^T \\
& =\frac{1}{2}\left[\frac{T}{2\pi(m+n)}\{\sin(2\pi(m+n))-\sin0)\}+(T-0)\right] \\
& =\frac{1}{2}\left[\frac{T}{2\pi(m+n)}(0-0)+T\right] \\
& =\frac{T}{2}
\end{align*}
\]
となる。
m≠nの場合
\[
\begin{align*}
(左辺) & =\frac{1}{2}\left[\frac{T}{2\pi(m+n)}\sin\left(\frac{2\pi(m+n)t}{T}\right)+\frac{T}{2\pi(m-n)}\sin\left(\frac{2\pi(m-n)t}{T}\right)\right]_0^T \\
& =0
\end{align*}
\]
となる。
結局、m=nならば\(T/2\)、m≠nならば0なので、右辺が導けた。
(証明終)
ちなみに他の積和公式を用いると
$$\int_0^T\sin\left(\frac{2\pi mt}{T}\right)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt=\frac{T}{2}\delta_{mn}$$
$$\int_0^T\sin\left(\frac{2\pi mt}{T}\right)\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt=0$$
も導ける。
ここからフーリエ級数を導出する。
フーリエ級数展開式の両辺に\(\cos(2\pi mt/T) (m≧1)\)を掛けて\(0からT\)まで積分する。
\[
\begin{align*}
\int_0^Tg(t)\cos\left(\frac{2\pi mt}{T}\right)dt & =\frac{a_0}{2}\int_0^T\cos\left(\frac{2\pi mt}{T}\right)dt \\
& +\sum_{n=1}^{\infty}a_n\int_0^T\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\cos\left(\frac{2\pi mt}{T}\right)dt \\
& +\sum_{n=1}^{\infty}b_n\int_0^T\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\cos\left(\frac{2\pi mt}{T}\right)dt
\end{align*}
\]
ここで、先ほどの公式を適用すると
\[
\begin{align*}
\int_0^Tg(t)\cos\left(\frac{2\pi mt}{T}\right)dt & =\frac{a_0}{2}\frac{T}{2\pi m}\left[\sin\left(\frac{2\pi mt}{T}\right)\right]_0^T+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\frac{T}{2}\delta_{mn} \\
& =\frac{T}{2}a_m
\end{align*}
\]
\(m\to n\)として、
$$a_n=\frac{2}{T}\int_0^Tg(t)\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt (n≧1)$$
を得る。次に、\(g(t)\)を\(0からT\)まで積分すれば
\[
\begin{align*}
\int_0^Tg(t)dt &= \int_0^T\frac{a_0}{2}dt+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\int_0^T\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\int_0^T\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt \\
& =\frac{a_0T}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\left[\frac{T}{2\pi n}\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]_0^T+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\left[-\frac{T}{2\pi n}\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]_0^T \\
& =\frac{a_0T}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\frac{T}{2\pi n}(0-0)-\sum_{n=1}^{\infty}b_n\frac{T}{2\pi n}(1-1) \\
& =\frac{a_0T}{2}
\end{align*}
\]
よって、
$$a_0=\frac{2}{T}\int_0^Tg(t)dt$$
を得る。
\(\cos0=1\)なので、先の式で\(n=0\)の場合とみることができる。したがって、
$$a_n=\frac{2}{T}\int_0^Tg(t)\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt$$
一方、\(\sin(2\pi mt/T)\)を掛けて同様にすれば、\(b_n\)の式が得られる。
矩形波のフーリエ級数展開
\[
\begin{align*}
a_n & =\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt \\
& =\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^0(-1)・\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt+\frac{2}{T}\int_0^{\frac{T}{2}}\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt \\
& =\frac{2}{T}\int_{\frac{T}{2}}^0\cos\left(\frac{2\pi nt’}{T}\right)dt’+\frac{2}{T}\int_0^{\frac{T}{2}}\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt (t’=-t)\\
& =0
\end{align*}
\]
ここで、\(\cos(-t)=\cos t\)を用いた。\(a_n\)が0になるのは、元の関数である矩形波が奇関数であるため。
一方、
\[
\begin{align*}
b_n & =\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt \\
& =\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^0(-1)・\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt+\frac{2}{T}\int_0^{\frac{T}{2}}\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt \\
& =\frac{2}{T}\int_{\frac{T}{2}}^0\sin\left(\frac{-2\pi nt’}{T}\right)dt’+\frac{2}{T}\int_0^{\frac{T}{2}}\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt (t’=-t) \\
& =\frac{4}{T}\int_0^{\frac{T}{2}}\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt \\
& =\frac{4}{T}\left[-\frac{T}{2\pi n}\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]_0^{\frac{T}{2}} \\
& =-\frac{2}{n\pi}(\cos n\pi-1) \\
& =\frac{2}{n\pi}\{1-(-1)^n\}
\end{align*}
\]
となる。ここで、\(\sin(-t)=-\sin t\)、\(\cos n\pi=(-1)^n\)を用いた。
鋸波のフーリエ級数展開
\(a_n=0\)である。
\[
\begin{align*}
b_n & =\frac{2}{T}\int_0^Tg(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt \\
& =\frac{2}{T}\int_0^T\left(1-\frac{2}{T}t\right)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt \\
& =\frac{2}{T}\int_0^T\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt-\left(\frac{2}{T}\right)^2\int_0^Tt\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt \\
& =-\left(\frac{2}{T}\right)^2\left(\frac{T}{2n\pi}\right)^2\int_0^{2n\pi}t’\sin t’dt’ (t’=2\pi nt/T) \\
& =-\frac{1}{(n\pi)^2}\left[[-t’\cos t’]_0^{2n\pi}+\int_0^{2n\pi}\cos t’dt’\right] \\
& =-\frac{1}{(n\pi)^2}\left[-2n\pi+[\sin t’]_0^{2n\pi}\right] \\
& =-\frac{1}{(n\pi)^2}\{-2n\pi+(0-0)\} \\
& =\frac{2}{n\pi}
\end{align*}
\]
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