フーリエ変換の加算性・対称性と振幅・位相スペクトル

フーリエ解析

これ以降、フーリエ変換を記号$\mathcal{F}$で表すことにします。

すなわち、フーリエ変換および逆フーリエ変換は次のように記述されます。

$$\mathcal{F}[g(t)]=G(f)　：フーリエ変換$$

$$\mathcal{F}^{-1}[G(f)]=g(t)　：逆フーリエ変換$$

1 フーリエ変換の加算性
- 1.1 導出
2 振幅スペクトルと位相スペクトル
3 フーリエ変換の対称性
- 3.1 導出
4 偶関数と奇関数のフーリエ変換

フーリエ変換の加算性

2つの関数$g_1(t)、g_2(t)$に対するフーリエ変換をそれぞれ$G_1(f)、G_2(f)$としたとき、任意の定数$a_1、a_2$に対し次の関係が成り立つ。

$$\mathcal{F}[a_1g_1(t)+a_2g_2(t)]=a_1G_1(f)+a_2G_2(f)$$

すなわち、二つの関数の線形和のフーリエ変換は、それぞれの関数のフーリエ変換の線形和である。

導出

フーリエ変換の加算性は積分の加算性による。

\[
\begin{align*}
\mathcal{F}[a_1g_1(t)+a_2g_2(t)] & =\int_{-\infty}^{\infty}(a_1g_1(t)+a_2g_2(t))e^{-2\pi ift}dt \\
& =a_1\int_{-\infty}^{\infty}g_1(t)e^{-2\pi ift}dt+a_2\int_{-\infty}^{\infty}g_2(t)e^{-2\pi ift}dt \\
& =a_1G_1(f)+a_2G_2(f)
\end{align*}
\]

振幅スペクトルと位相スペクトル

$G(f)$は複素数関数なので、

$$G(f)=G_r(f)+iG_i(f)$$

のように実部と虚部に分解される。さらに、$G(f)$は絶対値$|G(f)|$と偏角$\phi(f)$を用いて

$$G(f)=|G(f)|e^{i\phi(f)}$$

と表すこともできる。

このとき、$|G(f)|$を振幅スペクトル、$\phi(f)$を位相スペクトルと呼ぶ。振幅スペクトルは分解された各周期関数の強さ、位相スペクトルは各周期関数のタイミングと関係する。

振幅スペクトル$|G(f)|$、位相スペクトル$\phi(f)$、実部$G_r(f)$、虚部$G_i(f)$の間には以下の関係式がある。

$$|G(f)|=\sqrt{G_r(f)^2+G_i(f)^2}$$

$$\tan\phi(f)=\frac{\sin\phi(f)}{\cos\phi(f)}=\frac{G_i(f)}{G_r(f)}$$

フーリエ変換の対称性

実数関数$g(t)$のフーリエ変換$G(f)=G_r(f)+iG_i(f)$の対称性に関し、以下の関係式が成り立つ。

$$G_r(-f)=G_r(f)　（f=0で線対称な偶関数）$$

$$G_i(-f)=-G_i(f)　（f=0で点対称な奇関数）$$

$$G(-f)=G^*(f)　(G^*=G_r(f)-iG_i(f))$$

$$|G(-f)|=|G(f)|$$

この性質から、$f\ge0$の$G(f)$がわかれば$f\lt0$の$G(f)$が自動的に決定されることがわかる。

導出

まず、$G_r(f)$と$G_i(f)$を計算する。

\[
\begin{align*}
G(f) & =\int_{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-2\pi ift}dt=\int_{-\infty}^{\infty}g(t)(\cos(2\pi ft)-i\sin(2\pi ft))dt \\
& =\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\cos(2\pi ft)dt-i\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin(2\pi ft)dt=G_r(f)+iG_i(f)
\end{align*}
\]

cosは偶関数、sinは奇関数であることから

\[
\begin{align*}
G_r(-f) & =\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\cos(-2\pi ft)dt \\
& =\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\cos(2\pi ft)dt=G_r(f)
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
G_i(-f) & =-\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin(-2\pi ft)dt \\
& =\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin(2\pi ft)dt=-G_i(f)
\end{align*}
\]

である。これを用いると

\[
\begin{align*}
G(-f) & =G_r(-f)+iG_i(-f) \\
& =G_r(f)-iG_i(f)=G^*(f)
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
|G(-f)| & =\sqrt{G_r(-f)^2+G_i(-f)^2} \\
& =\sqrt{G_r(f)^2+G_i(f)^2}=|G(f)|
\end{align*}
\]

となる。