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理工数学

対角化による3次正方行列のn乗の計算例

行列の対角化の応用例として、n乗の計算がある。 ここでは、3×3行列の対角化によるn乗計算の例題を紹介する。 課題や試験で問われることも多いので、ご参考まで。   復習 行列の固有値・固有ベクトルおよび対角化に関する知識が必要になる。 これらの項目について復習したい方は、以下の記事を参照の […]

行列の対角化の手順と計算例

前回は行列の固有値と固有ベクトルの求め方を学んだ。 ここでは、この応用として重要な行列の対角化を紹介する。   線形代数では、行列の対角化は必ず学ぶ内容である。 対角行列は取り扱いがしやすいという利点があり、例えば行列のn乗の計算などに利用することができる。   行列の対角化とは […]

固有値・固有ベクトルの定義と求め方

行列のもつ重要な特徴量である、固有値・固有ベクトルについて解説する。 固有値・固有ベクトルの概念はあらゆる分野で登場する。 特に、この後で学ぶ「行列の対角化」においては欠かせないので、計算方法も含めてしっかり理解しておこう。   固有値と固有ベクトルの定義 まず、固有値と固有ベクトルの定義 […]

直交行列の定義とその性質

ここでは、直交行列の定義と性質を学ぶ。 後ほど実対称行列の対角化や2次形式の標準化でも登場するので、その性質を理解しておこう。 直交行列の定義 直交行列の定義自体はかなりシンプルである。 \(n\)次正方行列\(P\)が $$P^TP=E_n$$ を満たすとき、\(P\)を直交行列という。 ここで、 […]

制約あり非線形計画問題の解法:キューンタッカー条件

前回の記事で非線形計画問題について概説した。 勾配とヘッセ行列を用いて、目的関数が最適解をもつための必要条件を示した。簡単に復習しておこう。   無制約の最適化問題 $$f(\boldsymbol{x})\to\min$$ において、\(\boldsymbol{x}^*\)が局所的最適解で […]

非線形計画問題の概要

ある目的関数を最大化または最小化する問題を最適化問題といい、変数が取りうる値に制約がある場合、それを制約条件という。 制約条件と目的関数がともに線形である場合を線形計画問題といい、シンプレックス法という手法を用いて最適解を得る方法について先に解説した。   ここからは、目的関数や制約条件が […]

テンソルのトレースとデターミナント

この記事では、テンソルのトレース(跡)とデターミナント(行列式)を定義し、その性質について紹介する。 これらの量は、後ほど学ぶテンソルの不変量にも登場する。 また、トレースを用いてテンソルのスカラー積を定義することができる。   トレース テンソル\(\boldsymbol{X}\)のトレ […]

双対シンプレックス法

これまでに、線形計画問題の解法として通常のシンプレックス法、罰金法、そして計算機でよく用いられる二段階のシンプレックス法について例題を解きながら学んできた。 この記事では、最後のテーマとして双対シンプレックス法について学ぶ。   双対シンプレックス法 これまで取り扱ってきた問題では、制約条 […]

スカラー四重積とベクトル四重積

3つのベクトルの積として、スカラー三重積とベクトル三重積について学んだ。 ここでは、もう一つ増やして4つのベクトルの積について紹介する。   スカラー四重積 4つのベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{ […]